Kök içinde kesirli sayılarla işlem yaparken, kökün özelliklerini ve kesirlerin kurallarını bilmek önemlidir. Aşağıda adım adım bu işlemlerin nasıl yapılacağını öğreneceğiz.
Bir kök içindeki kesir, pay ve paydanın ayrı ayrı köklerine ayrılabilir:
\[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \]
Örnek: \(\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}\)
Kök içeren bir kesrin paydasında kök varsa, paydayı rasyonelleştirmek gerekebilir. Bunun için pay ve paydayı paydadaki kök ifadeyle çarparız:
\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b} \]
Örnek: \(\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3}\)
Kök içindeki kesirlerle çarpma veya bölme yaparken, köklerin çarpım veya bölüm özelliklerini kullanabiliriz:
Örnek: \(\sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2\)
Kök içindeki kesirlerle toplama veya çıkarma yapabilmek için köklerin içindeki ifadelerin aynı olması gerekir:
\[ k\sqrt{a} \pm m\sqrt{a} = (k \pm m)\sqrt{a} \]
Örnek: \(2\sqrt{\frac{1}{3}} + 4\sqrt{\frac{1}{3}} = 6\sqrt{\frac{1}{3}}\)
Kök içindeki kesirleri sadeleştirerek işlemleri kolaylaştırabiliriz:
\[ \sqrt{\frac{a \cdot c}{b \cdot c}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \]
Örnek: \(\sqrt{\frac{18}{8}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\)
Soru 1: \( \sqrt{\frac{25}{49}} \) ifadesinin sadeleştirilmiş hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \frac{5}{6} \)
b) \( \frac{7}{5} \)
c) \( \frac{5}{7} \)
d) \( \frac{25}{49} \)
Cevap: c) \( \frac{5}{7} \)
Çözüm: Kök içindeki kesir, pay ve paydanın ayrı ayrı kökü alınarak sadeleştirilir: \( \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7} \).
Soru 2: \( \sqrt{\frac{18}{8}} \) ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \frac{3\sqrt{2}}{4} \)
b) \( \frac{3}{2} \)
c) \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)
d) \( \frac{9}{4} \)
Cevap: b) \( \frac{3}{2} \)
Çözüm: Önce kök içindeki kesri sadeleştir: \( \sqrt{\frac{9}{4}} \). Ardından pay ve paydanın kökünü al: \( \frac{3}{2} \).
