Bu soruda, verilen eşitsizliklerden hangisinin her $x$ reel sayısı için sağlandığını bulmamız isteniyor. Bir eşitsizliğin "her $x$ reel sayısı için sağlanması", $x$ yerine hangi reel sayıyı yazarsak yazalım, eşitsizliğin daima doğru olması demektir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $x^2 + 1 > 0$
- Herhangi bir reel sayının karesi ($x^2$), daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani, $x^2 \ge 0$ eşitsizliği her $x$ reel sayısı için geçerlidir.
- Eşitsizliğin her iki tarafına $1$ eklersek, $x^2 + 1 \ge 0 + 1$ olur.
- Bu da $x^2 + 1 \ge 1$ anlamına gelir.
- $1$ sayısı sıfırdan büyük olduğu için ($1 > 0$), $x^2 + 1$ ifadesi de daima sıfırdan büyük olacaktır. Yani, $x^2 + 1 > 0$ eşitsizliği her $x$ reel sayısı için sağlanır.
- B) $x^2 - 1 > 0$
- Bu eşitsizliği $x^2 > 1$ olarak yazabiliriz.
- Bu eşitsizlik, $x > 1$ veya $x < -1$ olduğunda sağlanır.
- Ancak, her $x$ reel sayısı için geçerli değildir. Örneğin, $x=0$ alırsak, $0^2 - 1 = -1$ olur ve $-1 > 0$ yanlış bir ifadedir. Dolayısıyla bu seçenek doğru değildir.
- C) $x < 0$
- Bu eşitsizlik, $x$'in negatif bir sayı olması gerektiğini söyler.
- Bu açıkça her $x$ reel sayısı için doğru değildir. Örneğin, $x=5$ alırsak, $5 < 0$ yanlış bir ifadedir. Dolayısıyla bu seçenek doğru değildir.
- D) $x^3 > 0$
- Bu eşitsizlik, $x$'in pozitif bir sayı olması durumunda sağlanır.
- Ancak, her $x$ reel sayısı için geçerli değildir. Örneğin, $x=-2$ alırsak, $x^3 = (-2)^3 = -8$ olur ve $-8 > 0$ yanlış bir ifadedir. Dolayısıyla bu seçenek doğru değildir.
- E) $x^2 < 0$
- Daha önce de belirttiğimiz gibi, herhangi bir reel sayının karesi ($x^2$), daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür ($x^2 \ge 0$).
- Bu nedenle, $x^2$ hiçbir zaman sıfırdan küçük olamaz. Bu eşitsizlik hiçbir $x$ reel sayısı için sağlanmaz. Dolayısıyla bu seçenek doğru değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, her $x$ reel sayısı için sağlanan eşitsizliğin A seçeneği olduğu görülmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
