Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen eşitsizliklerden hangisinin çözüm kümesinin tüm reel sayılar olduğunu bulmamız isteniyor. Her bir seçeneği adım adım inceleyelim:
- A) $x^2 + 4 > 0$
- Öncelikle, herhangi bir reel sayının karesi ($x^2$) daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani, $x^2 \ge 0$ eşitsizliği her zaman doğrudur.
- Şimdi bu eşitsizliğin her iki tarafına 4 ekleyelim: $x^2 + 4 \ge 0 + 4$.
- Bu durumda, $x^2 + 4 \ge 4$ olur.
- Eğer $x^2 + 4$ ifadesi daima 4'ten büyük veya eşitse, o zaman kesinlikle 0'dan da büyüktür ($4 > 0$).
- Bu eşitsizlik, $x$ yerine hangi reel sayıyı koyarsak koyalım her zaman sağlanır.
- Dolayısıyla, bu eşitsizliğin çözüm kümesi tüm reel sayılardır.
- B) $x^2 - 4 > 0$
- Bu eşitsizliği çözmek için $x^2 > 4$ yazabiliriz.
- Bu da $|x| > 2$ anlamına gelir.
- Yani, $x > 2$ veya $x < -2$ olmalıdır.
- Bu eşitsizliğin çözüm kümesi tüm reel sayılar değildir; örneğin, $x=0$ için $0^2 - 4 = -4$ ve $-4 > 0$ yanlıştır.
- C) $x > 0$
- Bu eşitsizlik sadece pozitif reel sayıları kapsar. Örneğin, $x=-5$ için $-5 > 0$ yanlıştır.
- Çözüm kümesi tüm reel sayılar değildir.
- D) $x^2 < 0$
- Daha önce de belirttiğimiz gibi, herhangi bir reel sayının karesi ($x^2$) daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür ($x^2 \ge 0$).
- Bir sayının karesinin 0'dan küçük olması mümkün değildir.
- Bu eşitsizliğin çözüm kümesi boş kümedir.
- E) $x^2 + 4 < 0$
- A seçeneğinde $x^2 + 4 \ge 4$ olduğunu bulmuştuk.
- Eğer $x^2 + 4$ ifadesi daima 4'ten büyük veya eşitse, o zaman 0'dan küçük olması mümkün değildir.
- Bu eşitsizliğin çözüm kümesi boş kümedir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $x^2 + 4 > 0$ eşitsizliğinin tüm reel sayılar için geçerli olduğunu gördük.
Cevap A seçeneğidir.
