Eşitsizliklerde Dikkat Edilmesi Gerekenler: TYT Matematik Test 1

$\frac{1}{x} < 2$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$
B) $(0, \frac{1}{2})$
C) $\mathbb{R} - \{0\}$
D) $\mathbb{R}$
E) $\emptyset$

Bu eşitsizliği çözmek için adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Eşitsizliği Tek Tarafa Toplama
• Öncelikle eşitsizliğin bir tarafını sıfır yapmalıyız. Bunun için $2$'yi eşitsizliğin sol tarafına atarız:
• $\frac{1}{x} - 2 < 0$
• Adım 2: Ortak Paydada Birleştirme
• Şimdi sol taraftaki ifadeleri ortak paydada birleştirelim. $2$'yi $\frac{2x}{x}$ olarak yazabiliriz:
• $\frac{1}{x} - \frac{2x}{x} < 0$
• $\frac{1 - 2x}{x} < 0$
• Adım 3: Kritik Noktaları Bulma
• Eşitsizliğin işaretini değiştiren noktalar, payı veya paydayı sıfır yapan noktalardır. Bu noktalara kritik noktalar denir.
• Payı sıfır yapan değer: $1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$
• Paydayı sıfır yapan değer: $x = 0$ (Unutmayın, payda sıfır olamaz, bu yüzden $x \neq 0$ olmalıdır.)
• Kritik noktalarımız $0$ ve $\frac{1}{2}$'dir.
• Adım 4: İşaret Tablosu Oluşturma veya Aralıkları Test Etme
• Kritik noktalarımız olan $0$ ve $\frac{1}{2}$ sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{1}{2})$ ve $(\frac{1}{2}, \infty)$. Şimdi her aralıktan bir test değeri seçerek $\frac{1 - 2x}{x}$ ifadesinin işaretini inceleyelim.
• Aralık 1: $(-\infty, 0)$
• Bu aralıktan bir değer seçelim, örneğin $x = -1$.
• $\frac{1 - 2(-1)}{-1} = \frac{1 + 2}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$.
• $-3 < 0$ olduğu için bu aralık çözüm kümesinin bir parçasıdır.
• Aralık 2: $(0, \frac{1}{2})$
• Bu aralıktan bir değer seçelim, örneğin $x = \frac{1}{4}$.
• $\frac{1 - 2(\frac{1}{4})}{\frac{1}{4}} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
• $2 < 0$ olmadığı için bu aralık çözüm kümesinin bir parçası değildir.
• Aralık 3: $(\frac{1}{2}, \infty)$
• Bu aralıktan bir değer seçelim, örneğin $x = 1$.
• $\frac{1 - 2(1)}{1} = \frac{1 - 2}{1} = \frac{-1}{1} = -1$.
• $-1 < 0$ olduğu için bu aralık çözüm kümesinin bir parçasıdır.
• Adım 5: Çözüm Kümesini Belirleme
• Eşitsizliğin sağlandığı aralıklar $(-\infty, 0)$ ve $(\frac{1}{2}, \infty)$'dir. Bu aralıkların birleşimi çözüm kümesini verir.
• Çözüm kümesi: $(-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Bu çözüm kümesi A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.