$y' = 2x$ diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.
A) $y = x^2 + C$Bu soruda, bize verilen bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulmamız isteniyor. Diferansiyel denklemler, bir fonksiyonun türevini içeren denklemlerdir. Genel çözümü bulmak için türev alma işleminin tersi olan integral alma işlemini kullanırız.
Öncelikle, bize verilen diferansiyel denklemi yazalım: $y' = 2x$.
Buradaki $y'$ ifadesi, $y$ fonksiyonunun $x$'e göre türevini temsil eder. Yani, $y' = \frac{dy}{dx}$ şeklinde de yazabiliriz. Denklemi bu şekilde tekrar yazalım:
$\frac{dy}{dx} = 2x$
Şimdi, $y$'yi bulmak için denklemin her iki tarafını $x$'e göre integre etmemiz gerekiyor. İntegral almadan önce değişkenleri ayırmak işimizi kolaylaştırır. $dx$'i eşitliğin sağ tarafına çarpım olarak geçirelim:
$dy = 2x \, dx$
Şimdi eşitliğin her iki tarafının integralini alalım:
$\int dy = \int 2x \, dx$
Sol taraftaki integral $\int dy = y$ olacaktır. Sağ taraftaki integral için ise temel integral kurallarını uygulayalım. Sabit çarpanı integral dışına alabiliriz ve $x^n$ integralinin $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ olduğunu hatırlayalım:
$y = 2 \int x^1 \, dx$
$y = 2 \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + C$
$y = 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) + C$
Denklemi sadeleştirelim:
$y = x^2 + C$
Buradaki $C$, integral sabiti olup, genel çözümün bir parçasıdır. Çünkü türevi $2x$ olan sonsuz sayıda fonksiyon vardır (örneğin $x^2$, $x^2+5$, $x^2-10$, vb.). Bu sabit, çözümün tüm olası fonksiyonları kapsamasını sağlar.
Bulduğumuz genel çözümü seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile eşleştiğini görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
