Verilen fonksiyon $f(x) = e^{-x^2}$ şeklindedir.
Bu fonksiyon, bir üstel fonksiyonun (tabanı $e$) kuvvetinin kendisi de bir $x$ fonksiyonu olduğu bileşik bir fonksiyondur. Bu tür fonksiyonların türevini alırken zincir kuralını kullanırız.
- Adım 1: Zincir Kuralını Hatırlayalım
- Eğer bir fonksiyon $f(x) = e^{u(x)}$ şeklinde ise, türevi $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$ formülü ile bulunur. Burada $u(x)$ üstel ifadenin kuvvetidir ve $u'(x)$ ise $u(x)$'in $x$'e göre türevidir.
- Adım 2: $u(x)$ Fonksiyonunu Belirleyelim
- Verilen $f(x) = e^{-x^2}$ fonksiyonunda, üstel ifadenin kuvveti $u(x) = -x^2$'dir.
- Adım 3: $u(x)$ Fonksiyonunun Türevini Bulalım ($u'(x)$)
- $u(x) = -x^2$ fonksiyonunun $x$'e göre türevi, kuvvet kuralı ($ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $) kullanılarak bulunur:
$u'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2) = -1 \cdot (2x^{2-1}) = -2x$.
- Adım 4: Zincir Kuralını Uygulayalım
- Şimdi $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$ formülünde $u(x)$ ve $u'(x)$ değerlerini yerine yazalım:
$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x)$.
- Adım 5: Sonucu Düzenleyelim
- Türev ifadesini daha düzenli bir şekilde yazarsak:
$f'(x) = -2xe^{-x^2}$.
Bu sonuç, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
