12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı örnek sorular, cevapları ve çözümleri Test 1

$f(x) = \ln(x)$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki Taylor serisi açılımı nedir?

A) $(x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - ...$
B) $(x-1) + \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} + ...$
C) $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$
D) $1 + (x-1) + \frac{(x-1)^2}{2!} + \frac{(x-1)^3}{3!} + ...$
E) $1 - (x-1) + \frac{(x-1)^2}{2!} - \frac{(x-1)^3}{3!} + ...$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, $f(x) = \ln(x)$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki Taylor serisi açılımını adım adım bulacağız. Taylor serisi, bir fonksiyonu belirli bir nokta etrafında sonsuz bir polinom olarak ifade etmemizi sağlar. Bu, özellikle fonksiyonun karmaşık olduğu durumlarda veya belirli bir nokta etrafındaki davranışını incelemek istediğimizde çok kullanışlıdır.

• 1. Taylor Serisi Formülünü Hatırlayalım:

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki Taylor serisi açılımı şu şekildedir:

  $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$

  Bizim durumumuzda, $f(x) = \ln(x)$ ve $a = 1$ olacaktır.

• 2. Fonksiyonun ve Türevlerinin $x=1$ Noktasındaki Değerlerini Hesaplayalım:

  Taylor serisini oluşturmak için fonksiyonun kendisinin ve ardışık türevlerinin $x=1$ noktasındaki değerlerini bulmamız gerekiyor.

  • $f(x) = \ln(x)$
  • $f(1) = \ln(1) = 0$
  • $f'(x) = \frac{1}{x}$
  • $f'(1) = \frac{1}{1} = 1$
  • $f''(x) = -\frac{1}{x^2}$
  • $f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$
  • $f'''(x) = \frac{2}{x^3}$
  • $f'''(1) = \frac{2}{1^3} = 2$
  • $f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}$
  • $f^{(4)}(1) = -\frac{6}{1^4} = -6$

  Bu şekilde devam edebiliriz. Genel olarak, $n \ge 1$ için $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} (n-1)! x^{-n}$ ve dolayısıyla $f^{(n)}(1) = (-1)^{n-1} (n-1)!$ olduğunu görebiliriz.

• 3. Bulduğumuz Değerleri Taylor Serisi Formülüne Yerleştirelim:

  Şimdi hesapladığımız değerleri Taylor serisi formülüne yerleştirelim:

  $f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4 + ...$

  $f(x) = 0 + 1(x-1) + \frac{-1}{2!}(x-1)^2 + \frac{2}{3!}(x-1)^3 + \frac{-6}{4!}(x-1)^4 + ...$

• 4. İfadeyi Sadeleştirelim:

  Şimdi terimleri sadeleştirelim:

  • $0$
  • $1 \cdot (x-1) = (x-1)$
  • $\frac{-1}{2!}(x-1)^2 = \frac{-1}{2}(x-1)^2 = -\frac{(x-1)^2}{2}$
  • $\frac{2}{3!}(x-1)^3 = \frac{2}{3 \cdot 2 \cdot 1}(x-1)^3 = \frac{2}{6}(x-1)^3 = \frac{1}{3}(x-1)^3 = \frac{(x-1)^3}{3}$
  • $\frac{-6}{4!}(x-1)^4 = \frac{-6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}(x-1)^4 = \frac{-6}{24}(x-1)^4 = -\frac{1}{4}(x-1)^4 = -\frac{(x-1)^4}{4}$

  Böylece Taylor serisi açılımı şu şekilde olur:

  $f(x) = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + ...$

• 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz bu açılımı verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile birebir örtüştüğünü görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.