Bu soruda doğrusal bir fonksiyonun özelliklerini kullanarak bilinmeyen bir değeri bulacağız. Doğrusal fonksiyonlar, grafiği bir doğru olan ve belirli bir kurala göre artan veya azalan fonksiyonlardır. Bu kuralı bulduğumuzda, istediğimiz değeri kolayca hesaplayabiliriz.
- Doğrusal Fonksiyonun Genel Yapısı: Bir $f$ doğrusal fonksiyonu genellikle $f(x) = ax + b$ şeklinde ifade edilir. Burada $a$ fonksiyonun eğimini (ne kadar hızlı arttığını veya azaldığını), $b$ ise $y$-eksenini kestiği noktayı gösterir.
- Verilen Bilgileri Kullanarak Eğim ($a$) Değerini Bulma: Doğrusal fonksiyonlarda, $x$ değerindeki eşit artışlara karşılık $f(x)$ değerindeki artışlar da eşittir. Yani, fonksiyonun eğimi sabittir. Eğim, iki nokta arasındaki değişim oranıdır.
- Bize verilen noktalar: $(1, f(1)) = (1, 4)$ ve $(3, f(3)) = (3, 10)$.
- Eğim ($a$) formülü: $a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
- Değerleri yerine yazalım: $a = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{10 - 4}{2}$.
- Hesaplayalım: $a = \frac{6}{2} = 3$. Demek ki fonksiyonumuzun eğimi $3$'tür. Yani, $x$ değeri $1$ birim arttığında, $f(x)$ değeri $3$ birim artar.
- $f(5)$ Değerini Hesaplama: Artık eğimi bildiğimize göre, $f(3)$ değerinden $f(5)$ değerine geçiş yapabiliriz.
- $x$ değeri $3$'ten $5$'e $5 - 3 = 2$ birim artmıştır.
- Eğimimiz $3$ olduğuna göre, $x$ değeri $2$ birim arttığında $f(x)$ değeri $3 \times 2 = 6$ birim artacaktır.
- $f(5)$ değeri, $f(3)$ değerine bu artışı ekleyerek bulunur: $f(5) = f(3) + 6$.
- $f(5) = 10 + 6 = 16$.
- Alternatif Yöntem (Fonksiyon Kuralını Bulma): Eğer istersek, $f(x) = ax + b$ kuralını tamamen bulup sonra $f(5)$'i hesaplayabilirdik.
- Eğimi $a=3$ bulmuştuk. Yani $f(x) = 3x + b$.
- $f(1)=4$ bilgisini kullanalım: $3(1) + b = 4 \implies 3 + b = 4 \implies b = 1$.
- Fonksiyonumuzun kuralı $f(x) = 3x + 1$ olarak bulunur.
- Şimdi $f(5)$'i hesaplayalım: $f(5) = 3(5) + 1 = 15 + 1 = 16$. Gördüğünüz gibi her iki yöntem de aynı sonuca ulaştırdı.
Cevap E seçeneğidir.
