Aşağıdaki kesirlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı hangi seçenekte doğru verilmiştir?
$ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{2}{5} $
A) $ \frac{1}{2} < \frac{2}{5} < \frac{3}{4} $
B) $ \frac{2}{5} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} $
C) $ \frac{3}{4} < \frac{1}{2} < \frac{2}{5} $
D) $ \frac{2}{5} < \frac{3}{4} < \frac{1}{2} $
Kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralamak için en güvenilir yöntemlerden biri, tüm kesirlerin paydalarını eşitlemektir. Paydalar eşitlendiğinde, sadece payları karşılaştırarak sıralama yapabiliriz. Şimdi bu adımları tek tek uygulayalım:
- Adım 1: Sıralanacak Kesirleri Belirleyelim
- Sıralamamız gereken kesirler şunlardır: $ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{2}{5} $.
- Adım 2: Ortak Payda Bulalım
- Kesirlerin paydaları 2, 4 ve 5'tir. Bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. EKOK, bu sayıların hepsine bölünebilen en küçük sayıdır.
- 2'nin katları: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
- 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- 5'in katları: 5, 10, 15, 20, ...
- Gördüğümüz gibi, 2, 4 ve 5 sayılarının en küçük ortak katı 20'dir. Bu, tüm kesirleri paydası 20 olacak şekilde genişleteceğimiz anlamına gelir.
- Adım 3: Kesirleri Ortak Paydada Genişletelim
- Her bir kesri, paydası 20 olacak şekilde genişletelim:
- $ \frac{1}{2} $: Paydayı 20 yapmak için hem payı hem de paydayı 10 ile çarparız: $ \frac{1 \times 10}{2 \times 10} = \frac{10}{20} $.
- $ \frac{3}{4} $: Paydayı 20 yapmak için hem payı hem de paydayı 5 ile çarparız: $ \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} $.
- $ \frac{2}{5} $: Paydayı 20 yapmak için hem payı hem de paydayı 4 ile çarparız: $ \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} $.
- Şimdi kesirlerimiz şunlar oldu: $ \frac{10}{20}, \frac{15}{20}, \frac{8}{20} $.
- Adım 4: Payları Karşılaştırarak Sıralayalım
- Paydaları eşit olan kesirlerde, payı küçük olan kesir daha küçüktür.
- Yeni kesirlerimizin payları sırasıyla 10, 15 ve 8'dir.
- Bu payları küçükten büyüğe doğru sıralarsak: $ 8 < 10 < 15 $.
- Bu durumda, kesirlerin sıralaması şöyle olur: $ \frac{8}{20} < \frac{10}{20} < \frac{15}{20} $.
- Adım 5: Orijinal Kesirleri Yerine Yazalım
- $ \frac{8}{20} $ kesri aslında $ \frac{2}{5} $ kesrine eşitti.
- $ \frac{10}{20} $ kesri aslında $ \frac{1}{2} $ kesrine eşitti.
- $ \frac{15}{20} $ kesri aslında $ \frac{3}{4} $ kesrine eşitti.
- Öyleyse, orijinal kesirlerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı şöyledir: $ \frac{2}{5} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} $.
Bu sıralama seçeneklere baktığımızda B seçeneğinde doğru verilmiştir.
Cevap B seçeneğidir.
