Bu soruda, çevre uzunluğu verilen bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, alanının hangi değerleri alabileceğini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
-
Öncelikle, bir dikdörtgenin çevre uzunluğu formülünü hatırlayalım. Dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun. Çevre uzunluğu $P = 2 \times (a + b)$ formülü ile bulunur.
-
Soruda çevre uzunluğu $40 \text{ cm}$ olarak verilmiş. Bu bilgiyi formülde yerine yazalım:
$40 = 2 \times (a + b)$
-
Şimdi bu denklemi sadeleştirelim. Her iki tarafı $2$'ye bölersek:
$ rac{40}{2} = a + b$
$20 = a + b$
Bu, dikdörtgenin bir uzun kenarı ile bir kısa kenarının toplamının $20 \text{ cm}$ olduğu anlamına gelir.
-
Soruda kenar uzunluklarının doğal sayı olduğu belirtilmiş. Bu, $a$ ve $b$ değerlerinin pozitif tam sayılar olması gerektiği anlamına gelir. Şimdi, toplamları $20$ olan doğal sayı ikililerini (kenar uzunluklarını) ve bu ikililerin oluşturduğu alanları bulalım. Alan formülü $A = a \times b$ idi.
-
Olası kenar uzunlukları ve bunlara karşılık gelen alanlar şunlardır:
- Eğer kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $19 \text{ cm}$ ise, alan $1 \times 19 = 19 \text{ cm}^2$ olur.
- Eğer kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $18 \text{ cm}$ ise, alan $2 \times 18 = 36 \text{ cm}^2$ olur.
- Eğer kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $17 \text{ cm}$ ise, alan $3 \times 17 = 51 \text{ cm}^2$ olur.
- Eğer kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $16 \text{ cm}$ ise, alan $4 \times 16 = 64 \text{ cm}^2$ olur.
- Eğer kenarlar $5 \text{ cm}$ ve $15 \text{ cm}$ ise, alan $5 \times 15 = 75 \text{ cm}^2$ olur.
- Eğer kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $14 \text{ cm}$ ise, alan $6 \times 14 = 84 \text{ cm}^2$ olur.
- Eğer kenarlar $7 \text{ cm}$ ve $13 \text{ cm}$ ise, alan $7 \times 13 = 91 \text{ cm}^2$ olur.
- Eğer kenarlar $8 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ ise, alan $8 \times 12 = 96 \text{ cm}^2$ olur.
- Eğer kenarlar $9 \text{ cm}$ ve $11 \text{ cm}$ ise, alan $9 \times 11 = 99 \text{ cm}^2$ olur.
- Eğer kenarlar $10 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$ ise (bu bir karedir, kare de özel bir dikdörtgendir), alan $10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2$ olur.
-
Şimdi bulduğumuz bu olası alan değerlerini seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $90 \text{ cm}^2$ (Listemizde yok)
- B) $96 \text{ cm}^2$ (Listemizde var, kenarları $8 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin alanı olabilir.)
- C) $105 \text{ cm}^2$ (Listemizde yok ve hatta en büyük alan $100 \text{ cm}^2$ olduğu için bu değer mümkün değildir.)
- D) $110 \text{ cm}^2$ (Listemizde yok ve en büyük alan $100 \text{ cm}^2$ olduğu için bu değer de mümkün değildir.)
-
Görüldüğü gibi, verilen seçenekler arasında sadece $96 \text{ cm}^2$ değeri, çevre uzunluğu $40 \text{ cm}$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin alanı olabilir.
Cevap B seçeneğidir.
