Koordinat sisteminde A(2,3) ve B(5,7) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x - 3y + 1 = 0
B) 3x - 4y + 6 = 0
C) 4x - 3y - 1 = 0
D) 3x - 4y - 6 = 0
Koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemini bulmak için adım adım ilerleyelim. Bu tür soruları çözerken izleyeceğimiz yol, öncelikle doğrunun eğimini bulmak, ardından bulduğumuz eğimi ve noktalardan birini kullanarak doğru denklemini yazmaktır.
- Adım 1: Doğrunun Eğimini Bulma ($m$)
- İki nokta $A(x_1, y_1) = (2,3)$ ve $B(x_2, y_2) = (5,7)$ olarak verilmiştir.
- Doğrunun eğimi ($m$) şu formülle bulunur: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- Verilen değerleri formüle yerleştirelim: $m = \frac{7 - 3}{5 - 2}$
- Hesaplamayı yapalım: $m = \frac{4}{3}$
- Demek ki doğrumuzun eğimi $m = \frac{4}{3}$'tür.
- Adım 2: Doğru Denklemini Yazma (Nokta-Eğim Formu)
- Şimdi bulduğumuz eğimi ($m = \frac{4}{3}$) ve noktalardan birini (örneğin $A(2,3)$ noktasını) kullanarak doğru denklemini yazalım.
- Doğrunun nokta-eğim formu şöyledir: $y - y_1 = m(x - x_1)$
- Değerleri formüle yerleştirelim: $y - 3 = \frac{4}{3}(x - 2)$
- Adım 3: Doğru Denklemini Genel Forma Dönüştürme ($Ax + By + C = 0$)
- Denklemimizi seçeneklerdeki gibi genel forma dönüştürelim. Bunun için önce paydadan kurtulalım ve terimleri bir tarafta toplayalım.
- Denklemin her iki tarafını $3$ ile çarpalım: $3(y - 3) = 4(x - 2)$
- Parantezleri açalım: $3y - 9 = 4x - 8$
- Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım. Genellikle $x$ teriminin katsayısını pozitif tutmak tercih edilir, bu yüzden $3y - 9$ terimlerini sağ tarafa atalım:
- $0 = 4x - 3y - 8 + 9$
- Denklemi düzenleyelim: $4x - 3y + 1 = 0$
- Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştırma
- Bulduğumuz doğru denklemi $4x - 3y + 1 = 0$'dır.
- Şimdi bu denklemi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $4x - 3y + 1 = 0$
- B) $3x - 4y + 6 = 0$
- C) $4x - 3y - 1 = 0$
- D) $3x - 4y - 6 = 0$
- Görüldüğü gibi, bulduğumuz denklem A seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
