Bir doğru üzerindeki A(1,2) ve B(3,8) noktaları veriliyor. Bu doğruya dik olan ve orijinden geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 3y = 0Merhaba sevgili öğrenciler!
Doğru denklemleriyle ilgili bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Amacımız, iki noktadan geçen bir doğruya dik olan ve orijinden geçen başka bir doğrunun denklemini bulmak.
Bir doğru üzerindeki $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktaları verildiğinde, bu doğrunun eğimi $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ formülüyle bulunur.
Verilen noktalar $A(1,2)$ ve $B(3,8)$ olduğuna göre:
$m_{AB} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$
Demek ki, A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimi $3$'tür.
İki doğru birbirine dik ise, eğimleri çarpımı $-1$'dir. Yani, $m_1 \cdot m_2 = -1$.
Bizim aradığımız doğru, A ve B'den geçen doğruya dik olduğuna göre, eğimi $m_{dik}$ olsun:
$m_{AB} \cdot m_{dik} = -1$
$3 \cdot m_{dik} = -1$
$m_{dik} = -\frac{1}{3}$
Böylece, aradığımız doğrunun eğimini bulduk: $-\frac{1}{3}$.
Bir doğrunun denklemi, eğimi $m$ ve geçtiği bir nokta $(x_0, y_0)$ biliniyorsa $y - y_0 = m(x - x_0)$ formülüyle bulunur.
Bizim doğrumuz orijinden, yani $(0,0)$ noktasından geçiyor ve eğimi $m_{dik} = -\frac{1}{3}$.
$y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0)$
$y = -\frac{1}{3}x$
Bulduğumuz denklemi $y = -\frac{1}{3}x$ şeklinde. Seçenekler genellikle $Ax + By + C = 0$ formatındadır. Denklemi bu forma dönüştürelim:
Her iki tarafı $3$ ile çarpalım:
$3y = -x$
$-x$'i eşitliğin sol tarafına alalım:
$x + 3y = 0$
Bu denklem, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
