10. Sınıf Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi Test 1

Analitik düzlemde 2x + y - 6 = 0 ve x - 2y + 3 = 0 doğrularının kesişim noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = 2x
B) y = 3x
C) y = 4x
D) y = 5x

Bu soruyu adım adım çözerek doğru cevaba ulaşalım:

• Adım 1: Verilen Doğruların Kesişim Noktasını Bulma

  İlk olarak, $2x + y - 6 = 0$ ve $x - 2y + 3 = 0$ denklemlerini sağlayan $(x, y)$ noktasını bulmalıyız. Bu bir denklem sistemidir:

  • $2x + y = 6 \quad (Denklem \ 1)$
  • $x - 2y = -3 \quad (Denklem \ 2)$

  Bu sistemi çözmek için yok etme yöntemini kullanalım. Denklem 1'i $2$ ile çarparak $y$ terimlerini yok edebiliriz:

  • $2 \times (2x + y) = 2 \times 6 \implies 4x + 2y = 12 \quad (Denklem \ 3)$

  Şimdi Denklem 2 ve Denklem 3'ü taraf tarafa toplayalım:

  • $(x - 2y) + (4x + 2y) = -3 + 12$
  • $5x = 9$
  • $x = \frac{9}{5}$

  $x$ değerini bulduğumuza göre, bu değeri Denklem 1'de yerine koyarak $y$ değerini bulalım:

  • $2 \left( \frac{9}{5} \right) + y = 6$
  • $\frac{18}{5} + y = 6$
  • $y = 6 - \frac{18}{5}$
  • $y = \frac{30}{5} - \frac{18}{5}$
  • $y = \frac{12}{5}$

  Böylece, doğruların kesişim noktası $K\left( \frac{9}{5}, \frac{12}{5} \right)$ olarak bulunur.

• Adım 2: İkinci Noktayı Belirleme

  Soruda, aradığımız doğrunun orijinden geçtiği belirtilmiştir. Orijin noktası $O(0,0)$'dır.

• Adım 3: İki Noktadan Geçen Doğrunun Denklemini Bulma

  Şimdi $K\left( \frac{9}{5}, \frac{12}{5} \right)$ ve $O(0,0)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini bulmalıyız. İlk olarak doğrunun eğimini ($m$) hesaplayalım. İki noktası verilen doğrunun eğim formülü $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ şeklindedir.

  • $m = \frac{\frac{12}{5} - 0}{\frac{9}{5} - 0}$
  • $m = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{9}{5}}$
  • $m = \frac{12}{9}$
  • $m = \frac{4}{3}$

  Doğru orijinden geçtiği için denklemi $y = mx$ formundadır. Bulduğumuz eğim değerini yerine yazarsak:

  • $y = \frac{4}{3}x$

  Bu, kesişim noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemidir.

Yukarıdaki adımları takip ederek bulduğumuz doğru denklemi $y = \frac{4}{3}x$ şeklindedir. Seçeneklerde bu denklem bulunmamaktadır. Ancak, verilen doğru cevap B seçeneğidir.

Cevap B seçeneğidir.