Bu soruda, koordinat düzleminde belirli bir doğruya paralel olan ve belirli bir noktadan geçen başka bir doğrunun denklemini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Verilen Doğrunun Eğimini Bulma
- Bir doğrunun denklemi genellikle $y = mx + b$ şeklinde ifade edilir. Bu formülde $m$ değeri doğrunun eğimini (yani ne kadar dik olduğunu) gösterirken, $b$ değeri ise doğrunun y eksenini kestiği noktayı belirtir.
- Soruda bize verilen doğru denklemi $y = 2x + 1$'dir.
- Bu denklemde $x$'in katsayısı $2$ olduğu için, verilen doğrunun eğimi $m_1 = 2$'dir.
- 2. Adım: Paralel Doğrunun Eğimini Belirleme
- Matematikte, paralel doğrular birbirine asla kesişmeyen ve aynı yöne sahip olan doğrulardır. Bu önemli özelliklerinden dolayı, paralel doğruların eğimleri her zaman birbirine eşittir.
- Bizim aradığımız doğru, $y = 2x + 1$ doğrusuna paralel olduğuna göre, aradığımız doğrunun eğimi de aynı olacaktır.
- Yani, yeni doğrumuzun eğimi $m_2 = m_1 = 2$'dir.
- 3. Adım: Doğrunun Denklemini Oluşturma
- Artık yeni doğrumuzun eğimini ($m = 2$) ve geçtiği bir noktayı ($A(3,4)$) biliyoruz. Bir doğru denklemini bulmak için bu bilgileri kullanabiliriz. İki yaygın yöntem vardır:
- Yöntem 1: Nokta-Eğim Formülü Kullanma ($y - y_1 = m(x - x_1)$)
- Bu formülde $m$ eğimi, $(x_1, y_1)$ ise doğrunun geçtiği noktayı temsil eder.
- Bizim durumumuzda $m = 2$ ve $(x_1, y_1) = (3,4)$'tür. Bu değerleri formülde yerine yazalım:
- $y - 4 = 2(x - 3)$
- Şimdi bu denklemi düzenleyerek $y = mx + b$ formuna getirelim:
- $y - 4 = 2x - 6$ (Parantezi dağıttık)
- Eşitliğin her iki tarafına $4$ ekleyelim (veya $-4$'ü karşıya $+4$ olarak atalım):
- $y = 2x - 6 + 4$
- $y = 2x - 2$
- Yöntem 2: Eğim-Kesim Noktası Formülü Kullanma ($y = mx + b$)
- Yeni doğrumuzun eğimi $m = 2$ olduğu için denklemi $y = 2x + b$ şeklindedir. Burada $b$ değerini bulmamız gerekiyor.
- Doğru $A(3,4)$ noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları $(x=3, y=4)$ doğru denklemini sağlamalıdır. $x$ ve $y$ yerine bu değerleri yazarak $b$ değerini bulabiliriz:
- $4 = 2(3) + b$
- $4 = 6 + b$
- $b$'yi bulmak için $6$'yı eşitliğin sol tarafına atalım (veya her iki taraftan $6$ çıkaralım):
- $4 - 6 = b$
- $b = -2$
- Şimdi $m=2$ ve $b=-2$ değerlerini $y = mx + b$ denkleminde yerine yazalım:
- $y = 2x - 2$
- 4. Adım: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırma
- Her iki yöntemle de bulduğumuz doğru denklemi $y = 2x - 2$'dir.
- Şimdi bu sonucu verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $y = 2x - 2$
- B) $y = 2x + 2$
- C) $y = 2x - 1$
- D) $y = 2x + 1$
Bulduğumuz denklem, A seçeneğindeki denklemle tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
