9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 5. senaryo Test 1

Dik kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu $c$ olsun. Bu üçgen için aşağıdaki bağıntılardan hangisi her zaman doğrudur?

A) $a^2 + c^2 = b^2$

B) $a + b = c$

C) $a^2 + b^2 = c^2$

D) $a \cdot b = c$

E) $a^2 - b^2 = c^2$

Sevgili öğrenciler, bu soru dik üçgenlerin en temel ve önemli özelliklerinden biri olan Pisagor Teoremi ile ilgilidir. Şimdi adım adım bu teoremi hatırlayalım ve soruyu çözelim.

• Dik Üçgen Nedir?

  Bir açısı $90^\circ$ (dik açı) olan üçgenlere dik üçgen denir. Dik üçgenler geometride çok özel bir yere sahiptir.

• Dik Kenarlar ve Hipotenüs:

  Dik üçgende $90^\circ$'lik açıyı oluşturan kenarlara dik kenarlar denir. Soruda bu kenarların uzunlukları $a$ ve $b$ olarak verilmiştir. $90^\circ$'lik açının karşısındaki kenara ise hipotenüs denir. Hipotenüs, bir dik üçgendeki en uzun kenardır. Soruda hipotenüsün uzunluğu $c$ olarak belirtilmiştir.

• Pisagor Teoremi:

  Pisagor Teoremi, bir dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bu teorem der ki: "Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir."

• Teoremi Matematiksel Olarak İfade Edelim:

  Eğer dik kenarların uzunlukları $a$ ve $b$, hipotenüsün uzunluğu $c$ ise, Pisagor Teoremi şu şekilde yazılır:

  $a^2 + b^2 = c^2$

• Şimdi seçenekleri inceleyelim:
• A) $a^2 + c^2 = b^2$:

  Bu ifade, $c$ ve $a$'nın dik kenar, $b$'nin ise hipotenüs olduğu bir durumu gösterir. Ancak soruda $c$'nin hipotenüs olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla bu her zaman doğru değildir.

• B) $a + b = c$:

  Bu ifade, üçgen eşitsizliğine göre genellikle doğru değildir. Bir üçgende iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır ($a+b > c$). Eşitlik durumu, kenarların doğrusal olduğu dejenere bir üçgeni ifade eder ki bu bir üçgen değildir.

• C) $a^2 + b^2 = c^2$:

  Bu ifade, yukarıda açıkladığımız Pisagor Teoremi'nin ta kendisidir. Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Bu, dik üçgenler için her zaman doğrudur.

• D) $a \cdot b = c$:

  Bu ifade, kenar uzunlukları arasında genel geçer bir ilişkiyi temsil etmez ve yanlıştır.

• E) $a^2 - b^2 = c^2$:

  Bu ifade de yanlıştır. Pisagor Teoremi'nde kenarların kareleri toplamı söz konusudur, farkı değil.

Görüldüğü gibi, verilen dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki doğru ilişki Pisagor Teoremi ile ifade edilen $a^2 + b^2 = c^2$ bağıntısıdır.

Cevap C seçeneğidir.