Dik açısı $A$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde, $A$ köşesinden hipotenüs $BC$'ye $AD$ yüksekliği çizilmiştir. Eğer $BD = 4$ cm ve $DC = 9$ cm ise, $AD$ yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir?
A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$
E) $9$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, dik üçgenlerde sıkça karşımıza çıkan ve çok önemli bir bağıntı olan Öklid Bağıntıları'nı kullanacağız. Özellikle dik açıdan hipotenüse yükseklik çizildiğinde bu bağıntılar bize büyük kolaylık sağlar.
- Öncelikle soruyu dikkatlice inceleyelim: Bir $ABC$ dik üçgenimiz var ve dik açısı $A$ köşesinde. $A$ köşesinden hipotenüs $BC$'ye $AD$ yüksekliği çizilmiş. Bu yükseklik, hipotenüsü $BD$ ve $DC$ olmak üzere iki parçaya ayırmış.
- Bize verilenler: $BD = 4$ cm ve $DC = 9$ cm.
- Bizden istenen: $AD$ yüksekliğinin uzunluğu.
- Dik üçgenlerde, dik açıdan hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğunu bulmak için Yükseklik Bağıntısı (Öklid'in Yükseklik Teoremi) kullanılır. Bu teorem der ki: Yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
- Matematiksel olarak ifade edersek: $AD^2 = BD \cdot DC$.
- Şimdi verilen değerleri bu formülde yerine koyalım:
- $AD^2 = 4 \cdot 9$
- $AD^2 = 36$
- $AD$'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:
- $AD = \sqrt{36}$
- $AD = 6$ cm.
Böylece $AD$ yüksekliğinin uzunluğunu $6$ cm olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
