9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo Test 1

Koordinat düzleminde köşeleri $A(0,0)$, $B(3,0)$ ve $C(0,4)$ olan bir $ABC$ üçgeni verilmiştir.
Bu üçgenin orijin etrafında $k=2$ benzerlik oranıyla büyütülmesiyle oluşan $A'B'C'$ üçgeninin köşelerinin koordinatları toplamı kaçtır?

A) $14$

B) $18$

C) $21$

D) $24$

E) $28$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, koordinat düzleminde verilen bir üçgenin orijin etrafında belirli bir benzerlik oranıyla büyütülmesi (dilatasyon) işlemini ve oluşan yeni üçgenin köşe koordinatlarını bulmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Benzerlik Dönüşümü (Dilatasyon) Kuralını Hatırlayalım:

  Bir noktayı orijin etrafında $k$ benzerlik oranıyla büyütmek (veya küçültmek) için noktanın her bir koordinatını $k$ ile çarparız. Yani, eğer bir $P(x,y)$ noktasını orijin etrafında $k$ benzerlik oranıyla dönüştürürsek, yeni noktamız $P'(x',y')$ şu şekilde bulunur:

  $P'(x',y') = P'(k \cdot x, k \cdot y)$

  Soruda verilen benzerlik oranı $k=2$'dir.

• 2. Üçgenin Köşe Koordinatlarını Belirleyelim:

  Verilen $ABC$ üçgeninin köşeleri şunlardır:

  • $A(0,0)$
  • $B(3,0)$
  • $C(0,4)$
• 3. Her Bir Köşeyi Dönüştürelim:

  Şimdi, her bir köşe noktasını $k=2$ benzerlik oranıyla orijin etrafında büyüterek $A'B'C'$ üçgeninin köşe koordinatlarını bulalım:

  • $A(0,0)$ noktası için:

    $A'(2 \cdot 0, 2 \cdot 0) = A'(0,0)$

    Unutmayın, orijin benzerlik dönüşümünde her zaman kendi üzerine dönüşür.

  • $B(3,0)$ noktası için:

    $B'(2 \cdot 3, 2 \cdot 0) = B'(6,0)$

  • $C(0,4)$ noktası için:

    $C'(2 \cdot 0, 2 \cdot 4) = C'(0,8)$

• 4. Yeni Üçgenin Köşe Koordinatlarını Listeleyelim:

  Dönüşüm sonucunda oluşan $A'B'C'$ üçgeninin köşeleri şunlardır:

  • $A'(0,0)$
  • $B'(6,0)$
  • $C'(0,8)$
• 5. Köşe Koordinatları Toplamını Hesaplayalım:

  Sorunun son adımı, $A'B'C'$ üçgeninin köşelerinin koordinatları toplamını bulmaktır. Her bir noktanın $x$ ve $y$ koordinatlarını toplayıp, bu toplamları da kendi aralarında toplayacağız:

  Toplam $= (A'_x + A'_y) + (B'_x + B'_y) + (C'_x + C'_y)$

  Toplam $= (0 + 0) + (6 + 0) + (0 + 8)$

  Toplam $= 0 + 6 + 8$

  Toplam $= 14$

Buna göre, $A'B'C'$ üçgeninin köşelerinin koordinatları toplamı $14$'tür.

Cevap A seçeneğidir.