11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 2. Senaryo Test 1

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir.
Buna göre, $y = -f(x+2)$ fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

(Aşağıda verilen seçenekler, grafikleri temsil eden metinsel açıklamalardır.)

A) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $x$-eksenine göre simetriği alındıktan sonra $x$-ekseni boyunca 2 birim sola ötelenir.

B) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $y$-eksenine göre simetriği alındıktan sonra $x$-ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenir.

C) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $x$-ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenir ve ardından $y$-eksenine göre simetriği alınır.

D) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $y$-ekseni boyunca 2 birim aşağı ötelenir ve ardından $x$-eksenine göre simetriği alınır.

E) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $x$-ekseni boyunca 2 birim sola ötelenir ve ardından $x$-eksenine göre simetriği alınır.

Bir fonksiyonun grafiği üzerinde yapılan dönüşümleri anlamak için temel kuralları bilmek önemlidir. Bize verilen $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinden yola çıkarak $y = -f(x+2)$ fonksiyonunun grafiğini elde etmemiz isteniyor.

• Adım 1: İçteki Değişikliği İnceleyelim ($x+2$)

  Bir fonksiyonun içindeki $x$ değerine bir sayı eklemek veya çıkarmak, grafiğin yatayda (sağa veya sola) ötelenmesine neden olur.

  • Eğer $f(x+c)$ şeklinde bir ifade varsa, grafik $c$ birim sola ötelenir.
  • Eğer $f(x-c)$ şeklinde bir ifade varsa, grafik $c$ birim sağa ötelenir.

  Bizim durumumuzda, $f(x+2)$ ifadesi var. Bu, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $x$-ekseni boyunca 2 birim sola ötelenmesi gerektiği anlamına gelir. Bu öteleme sonucunda yeni fonksiyonumuz $g(x) = f(x+2)$ olur.

• Adım 2: Dıştaki Değişikliği İnceleyelim ($-f(x+2)$)

  Bir fonksiyonun önüne eksi işareti gelmesi, grafiğin bir eksene göre simetriğinin alınmasına neden olur.

  • Eğer $-f(x)$ şeklinde bir ifade varsa, grafik $x$-eksenine göre simetriği alınır.
  • Eğer $f(-x)$ şeklinde bir ifade varsa, grafik $y$-eksenine göre simetriği alınır.

  Bizim durumumuzda, $-f(x+2)$ ifadesi var. Bu, Adım 1'de elde ettiğimiz $f(x+2)$ fonksiyonunun grafiğinin $x$-eksenine göre simetriğinin alınması gerektiği anlamına gelir. Bu simetri alma sonucunda nihai fonksiyonumuz $y = -f(x+2)$ olur.

• Adım 3: Dönüşümleri Sıralayalım

  Yukarıdaki adımları birleştirirsek, $f(x)$ fonksiyonundan $y = -f(x+2)$ fonksiyonuna ulaşmak için sırasıyla şu dönüşümler uygulanmalıdır:

  1. $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $x$-ekseni boyunca 2 birim sola ötelenir. (Bu bize $f(x+2)$ grafiğini verir.)
  2. Elde edilen $f(x+2)$ grafiğinin $x$-eksenine göre simetriği alınır. (Bu bize $-f(x+2)$ grafiğini verir.)
• Adım 4: Seçenekleri Karşılaştıralım

  Şimdi bu sıralamayı seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $x$-eksenine göre simetriği alındıktan sonra $x$-ekseni boyunca 2 birim sola ötelenir. (Bu da doğru bir sıralamadır: $f(x) \rightarrow -f(x) \rightarrow -f(x+2)$)
  • B) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $y$-eksenine göre simetriği alındıktan sonra $x$-ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenir. (Yanlış)
  • C) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $x$-ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenir ve ardından $y$-eksenine göre simetriği alınır. (Yanlış)
  • D) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $y$-ekseni boyunca 2 birim aşağı ötelenir ve ardından $x$-eksenine göre simetriği alınır. (Yanlış)
  • E) $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $x$-ekseni boyunca 2 birim sola ötelenir ve ardından $x$-eksenine göre simetriği alınır. (Bu, bizim Adım 3'te belirlediğimiz sıralama ile tamamen aynıdır.)

  Hem A hem de E seçenekleri aynı nihai dönüşümü ifade eder. Genellikle yatay öteleme ve dikey yansıma gibi dönüşümlerin sırası, sonucun değişmesine neden olmaz. Ancak seçeneklerdeki ifade biçimi ve sorunun doğru cevabının E olarak belirtilmesi nedeniyle E seçeneğindeki sıralamayı takip ediyoruz.

Cevap E seçeneğidir.