$y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği orijinden geçmektedir.
$g(x) = -2f(x-3)$ fonksiyonunun grafiği $(4, 6)$ noktasından geçtiğine göre, $f(x)$ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki noktalardan hangisinden geçer?
A) $(1, -3)$
B) $(1, 3)$
C) $(7, -3)$
D) $(7, 3)$
E) $(-1, 3)$
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir fonksiyonun dönüşümü ve verilen bir noktadan geçme bilgisini kullanarak orijinal fonksiyonun geçtiği bir noktayı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim:
- Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Bize $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin orijinden geçtiği bilgisi verilmiş. Bu, $f(0) = 0$ demektir. Bu bilgi, $f(x)$ hakkında ek bir ipucudur ancak sorunun doğrudan çözümünde her zaman kullanılmayabilir.
- İkinci olarak, $g(x) = -2f(x-3)$ fonksiyonunun grafiğinin $(4, 6)$ noktasından geçtiği söyleniyor. Bu bilgi, $x=4$ olduğunda $g(x)$ değerinin $6$ olduğu anlamına gelir. Yani, $g(4) = 6$. Bu bilgi, $f(x)$ hakkında bir şeyler bulmamızı sağlayacak anahtar bilgidir.
- Adım 2: $g(4)$ değerini $f(x)$ cinsinden ifade edelim
- $g(x)$ fonksiyonunun tanımı $g(x) = -2f(x-3)$ şeklindedir.
- $g(4) = 6$ bilgisini kullanarak, $g(x)$ tanımında $x$ yerine $4$ yazalım:
- $g(4) = -2f(4-3)$
- Bu ifadeyi basitleştirelim: $g(4) = -2f(1)$.
- Adım 3: $f(1)$ değerini bulalım
- Adım 1'den biliyoruz ki $g(4) = 6$.
- Adım 2'den de $g(4) = -2f(1)$ olduğunu bulduk.
- Bu iki bilgiyi birleştirerek bir denklem oluşturalım: $6 = -2f(1)$.
- Şimdi $f(1)$ değerini bulmak için denklemi çözelim. Her iki tarafı $-2$'ye bölelim:
- $f(1) = \frac{6}{-2}$
- $f(1) = -3$.
- Adım 4: $f(x)$ fonksiyonunun geçtiği noktayı belirleyelim
- $f(1) = -3$ bulduğumuza göre, bu, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $x=1$ iken $y=-3$ noktasından geçtiği anlamına gelir. Yani, $f(x)$ fonksiyonu $(1, -3)$ noktasından geçmektedir.
- Adım 5: Seçeneklerle karşılaştıralım
- Bulduğumuz $(1, -3)$ noktası seçeneklerde A şıkkında yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
