Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki denklemin oluşturduğu bir denklem sisteminin çözüm kümesinin kaç elemanlı olduğunu bulmamız isteniyor. Çözüm kümesi, her iki denklemi de aynı anda sağlayan $(x, y)$ ikililerinin kümesidir. Hadi adım adım bu ikilileri bulalım:
1. Adım: Denklemleri Birbirine Eşitleme
Verilen denklemler şunlardır:
Her iki denklem de $y$'ye eşit olduğu için, denklemlerin sağ taraflarını birbirine eşitleyebiliriz. Bu sayede sadece $x$ değişkenini içeren bir denklem elde ederiz:
$x^2 - 6x + 9 = 2x - 7$
2. Adım: Denklemi Düzenleme
Elde ettiğimiz denklemi standart bir kuadratik (ikinci dereceden) denklem formatına ($ax^2 + bx + c = 0$) getirmek için tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım:
$x^2 - 6x - 2x + 9 + 7 = 0$
$x^2 - 8x + 16 = 0$
3. Adım: Kuadratik Denklemi Çözme
Şimdi $x^2 - 8x + 16 = 0$ denklemini çözmeliyiz. Bu ifadeyi dikkatlice incelediğimizde, bunun bir tam kare ifade olduğunu görebiliriz. Yani, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ formülüne uymaktadır. Burada $a=x$ ve $b=4$ alırsak:
$(x - 4)^2 = x^2 - 2(x)(4) + 4^2 = x^2 - 8x + 16$
Bu durumda denklemimiz şu hale gelir:
$(x - 4)^2 = 0$
Bir sayının karesi sıfır ise, o sayı da sıfır olmalıdır:
$x - 4 = 0$
$x = 4$
Bu denklemden sadece bir tane $x$ değeri bulduk. Bu, çözüm kümesinde sadece bir tane $(x, y)$ ikilisi olabileceği anlamına gelir.
4. Adım: $y$ Değerini Bulma
Bulduğumuz $x = 4$ değerini orijinal denklemlerden herhangi birine yerine koyarak $y$ değerini bulabiliriz. İkinci denklem ($y = 2x - 7$) daha basit olduğu için onu kullanalım:
$y = 2(4) - 7$
$y = 8 - 7$
$y = 1$
5. Adım: Çözüm Kümesini Belirleme ve Eleman Sayısını Bulma
Denklem sistemini sağlayan tek $(x, y)$ ikilisi $(4, 1)$'dir. Bu durumda çözüm kümesi $\{(4, 1)\}$'dir.
Çözüm kümesinin eleman sayısı, bu kümedeki farklı ikili sayısıdır. Bizim durumumuzda sadece bir tane ikili bulduğumuz için, çözüm kümesi $1$ elemanlıdır.
Bu adımları takip ederek, denklem sisteminin çözüm kümesinin kaç elemanlı olduğunu bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
