11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo meb Test 1

$f(x) = x^2 - 6x + 9$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafiğin $x$-ekseni boyunca 3 birim sağa ve $y$-ekseni boyunca 2 birim yukarı ötelenmesiyle elde edilen yeni fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y = (x-6)^2 + 2$

B) $y = (x-3)^2 + 2$

C) $y = (x-3)^2 - 2$

D) $y = (x-9)^2 + 2$

E) $y = (x-9)^2 - 2$

Bir fonksiyonun grafiği üzerinde yapılan öteleme (kaydırma) işlemleri, fonksiyonun denklemini belirli kurallara göre değiştirir. Bu soruda, verilen parabolün $x$-ekseni ve $y$-ekseni boyunca ötelenmesi istenmektedir.

• Adım 1: Verilen fonksiyonu inceleyelim ve uygun forma dönüştürelim.

  Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 6x + 9$ şeklindedir. Bu ifade, tam kare bir ifadedir. Hatırlayalım ki $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ formülüne göre:

  $f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ olarak yazılabilir.

  Bu form, parabolün tepe noktasını kolayca görmemizi sağlar. $y = (x-h)^2 + k$ formundaki bir parabolün tepe noktası $(h, k)$'dir. Buna göre, $f(x) = (x-3)^2 + 0$ fonksiyonunun tepe noktası $(3, 0)$'dır.

• Adım 2: $x$-ekseni boyunca öteleme kuralını uygulayalım.

  Bir fonksiyonun grafiğini $x$-ekseni boyunca $k$ birim sağa ötelemek için, fonksiyondaki her $x$ yerine $(x-k)$ yazılır. Soruya göre, grafik $x$-ekseni boyunca 3 birim sağa ötelenmelidir. Bu durumda $k=3$ olacaktır.

  Yeni fonksiyonumuz $g(x)$ olsun:

  $g(x) = f(x-3) = ((x-3)-3)^2$

  $g(x) = (x-6)^2$

• Adım 3: $y$-ekseni boyunca öteleme kuralını uygulayalım.

  Bir fonksiyonun grafiğini $y$-ekseni boyunca $m$ birim yukarı ötelemek için, fonksiyonun kendisine $m$ eklenir. Soruya göre, grafik $y$-ekseni boyunca 2 birim yukarı ötelenmelidir. Bu durumda $m=2$ olacaktır.

  Yeni fonksiyonumuz $h(x)$ olsun:

  $h(x) = g(x) + 2$

  $h(x) = (x-6)^2 + 2$

• Adım 4: Elde edilen yeni fonksiyonu seçeneklerle karşılaştıralım.

  Öteleme işlemleri sonucunda elde ettiğimiz yeni fonksiyonun denklemi $y = (x-6)^2 + 2$'dir.

  Seçeneklere baktığımızda:

  • A) $y = (x-6)^2 + 2$
  • B) $y = (x-3)^2 + 2$
  • C) $y = (x-3)^2 - 2$
  • D) $y = (x-9)^2 + 2$
  • E) $y = (x-9)^2 - 2$

  Elde ettiğimiz sonuç A seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.

Cevap D seçeneğidir.