$f(x)$ fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir. Buna göre, $g(x) = -f(x-3)+2$ fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? (Şıklarda grafiklerin verildiği varsayılmaktadır. Burada şıklar metinsel olarak ifade edilmiştir.)
A) $f(x)$ grafiğinin $x$-eksenine göre simetriği alınıp, 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenmiş hali.
B) $f(x)$ grafiğinin $y$-eksenine göre simetriği alınıp, 3 birim sola ve 2 birim yukarı ötelenmiş hali.
C) $f(x)$ grafiğinin $x$-eksenine göre simetriği alınıp, 3 birim sola ve 2 birim aşağı ötelenmiş hali.
D) $f(x)$ grafiğinin $y$-eksenine göre simetriği alınıp, 3 birim sağa ve 2 birim aşağı ötelenmiş hali.
E) $f(x)$ grafiğinin $x$-eksenine göre simetriği alınıp, 3 birim sağa ve 2 birim aşağı ötelenmiş hali.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinden yola çıkarak, $g(x) = -f(x-3)+2$ fonksiyonunun grafiğinin nasıl elde edileceğini adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyon dönüşümleri konusunda dikkatli olursak, bu tür soruları kolayca çözebiliriz.
Bir $f(x)$ fonksiyonuna uygulanan temel dönüşümleri hatırlayalım:
- $f(x-c)$ dönüşümü, grafiği $c$ birim sağa öteler.
- $f(x+c)$ dönüşümü, grafiği $c$ birim sola öteler.
- $-f(x)$ dönüşümü, grafiği $x$-eksenine göre yansıtır (simetriğini alır).
- $f(-x)$ dönüşümü, grafiği $y$-eksenine göre yansıtır (simetriğini alır).
- $f(x)+k$ dönüşümü, grafiği $k$ birim yukarı öteler.
- $f(x)-k$ dönüşümü, grafiği $k$ birim aşağı öteler.
Şimdi $g(x) = -f(x-3)+2$ fonksiyonunu adım adım inceleyelim:
- Adım 1: Yatay Öteleme
- $f(x)$ fonksiyonundan $f(x-3)$ fonksiyonuna geçiş, $x$ yerine $x-3$ yazılmasıyla olur. Bu, grafiği 3 birim sağa ötelemek anlamına gelir.
- Yani, $f(x)$ grafiğini 3 birim sağa ötelediğimizde $f(x-3)$ grafiğini elde ederiz.
- Adım 2: $x$-eksenine Göre Yansıma (Simetri)
- Şimdi $f(x-3)$ fonksiyonundan $-f(x-3)$ fonksiyonuna geçişi inceleyelim. Fonksiyonun önüne eksi işareti gelmesi, yani $-f(x)$ şeklindeki bir dönüşüm, grafiği $x$-eksenine göre yansıtmak (simetriğini almak) anlamına gelir.
- Yani, $f(x-3)$ grafiğinin $x$-eksenine göre simetriğini aldığımızda $-f(x-3)$ grafiğini elde ederiz.
- Adım 3: Dikey Öteleme
- Son olarak, $-f(x-3)$ fonksiyonundan $-f(x-3)+2$ fonksiyonuna geçişi inceleyelim. Fonksiyona $+2$ eklenmesi, yani $f(x)+k$ şeklindeki bir dönüşüm, grafiği 2 birim yukarı ötelemek anlamına gelir.
- Yani, $-f(x-3)$ grafiğini 2 birim yukarı ötelediğimizde $g(x) = -f(x-3)+2$ grafiğini elde ederiz.
Tüm bu adımları birleştirdiğimizde, $g(x)$ fonksiyonunun grafiğini elde etmek için $f(x)$ grafiğine sırasıyla şu dönüşümleri uygulamamız gerekir:
- $f(x)$ grafiğinin $x$-eksenine göre simetriğini al.
- Elde edilen grafiği 3 birim sağa ötele.
- Elde edilen grafiği 2 birim yukarı ötele.
Şimdi seçenekleri kontrol edelim:
- A) $f(x)$ grafiğinin $x$-eksenine göre simetriği alınıp, 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenmiş hali.
- Bu seçenek, bizim bulduğumuz tüm dönüşümleri doğru bir şekilde ifade etmektedir.
Diğer seçenekler, ya yanlış bir eksene göre simetri almayı ($y$-ekseni), ya yanlış yöne ötelemeyi (sola veya aşağı), ya da yanlış miktarda ötelemeyi içermektedir.
Cevap A seçeneğidir.
