11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo meb Test 1

$x^2 - y = 7$ ve $x + y = -1$ denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\{ (-2, 1), (3, -4) \}$

B) $\{ (2, -3), (-3, 2) \}$

C) $\{ (2, -3), (3, -4) \}$

D) $\{ (-2, 1), (-3, 2) \}$

E) $\{ (1, -2), (-3, 2) \}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir doğrusal denklem ile bir ikinci dereceden denklemin oluşturduğu bir denklem sistemini çözmemiz isteniyor. Bu tür sistemleri çözmek için genellikle yerine koyma (substitüsyon) yöntemini kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Denklemleri Belirleyelim

  Verilen denklem sistemi şöyledir:

  1) $x^2 - y = 7$

  2) $x + y = -1$

• Adım 2: Doğrusal Denklemden Bir Değişkeni Yalnız Bırakalım

  İkinci denklem ($x + y = -1$) doğrusal olduğu için, buradan $y$ değişkenini $x$ cinsinden ifade etmek daha kolay olacaktır. Bunun için $x$'i eşitliğin diğer tarafına atarız:

  $y = -1 - x$

• Adım 3: Yalnız Bıraktığımız Değişkeni Diğer Denklemde Yerine Koyalım

  Şimdi bulduğumuz $y = -1 - x$ ifadesini birinci denklem olan $x^2 - y = 7$ denkleminde $y$ yerine yazalım. Parantez kullanmayı unutmayın, çünkü eksi işareti tüm ifadeyi etkileyecektir:

  $x^2 - (-1 - x) = 7$

  Eksi işaretini dağıtalım:

  $x^2 + 1 + x = 7$

• Adım 4: Oluşan İkinci Dereceden Denklemi Çözelim

  Denklemi standart ikinci dereceden denklem formatına ($ax^2 + bx + c = 0$) getirelim. Bunun için $7$'yi eşitliğin sol tarafına atarız:

  $x^2 + x + 1 - 7 = 0$

  $x^2 + x - 6 = 0$

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-6$ ve toplamları $1$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $3$ ve $-2$'dir:

  $(x + 3)(x - 2) = 0$

  Buradan $x$ için iki farklı değer elde ederiz:

  $x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$

  $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

• Adım 5: Bulduğumuz $x$ Değerleri İçin Karşılık Gelen $y$ Değerlerini Bulalım

  Şimdi $x$'in her bir değeri için, Adım 2'de bulduğumuz $y = -1 - x$ denklemini kullanarak $y$ değerlerini hesaplayalım:

  Durum 1: $x_1 = -3$ için

  $y_1 = -1 - (-3)$

  $y_1 = -1 + 3$

  $y_1 = 2$

  Böylece ilk çözüm çiftimiz $(-3, 2)$ olur.

  Durum 2: $x_2 = 2$ için

  $y_2 = -1 - 2$

  $y_2 = -3$

  Böylece ikinci çözüm çiftimiz $(2, -3)$ olur.

• Adım 6: Çözüm Kümesini Yazalım

  Bulduğumuz çözüm çiftlerini bir küme içinde birleştirerek çözüm kümesini oluştururuz:

  Çözüm Kümesi $= \{ (2, -3), (-3, 2) \}$

• Adım 7: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz çözüm kümesi seçeneklerdeki B şıkkı ile aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.