$-x^2 + x + 2 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(-2, 1)$
B) $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$
C) $(-1, 2)$
D) $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$
E) $[-1, 2]$
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Eşitsizliği Standart Hale Getirme
- Verilen eşitsizlik $-x^2 + x + 2 > 0$ şeklindedir. İkinci dereceden eşitsizlikleri çözerken, $x^2$ teriminin katsayısını pozitif yapmak genellikle daha kolaydır. Bu nedenle, eşitsizliğin her iki tarafını $-1$ ile çarpalım. Ancak unutmayın, bir eşitsizliği negatif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
- $(-1) \cdot (-x^2 + x + 2) < (-1) \cdot 0$
- Bu işlem bize $x^2 - x - 2 < 0$ eşitsizliğini verir. Artık bu eşitsizliği çözebiliriz.
- Adım 2: İlgili Denklemin Köklerini Bulma
- Eşitsizliğin işaretini incelemek için, önce $x^2 - x - 2 = 0$ denkleminin köklerini bulmalıyız. Bu kökler, sayı doğrusunu işaret incelemesi yapacağımız aralıklara ayırır.
- Denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri bulabiliriz:
- $(x-2)(x+1) = 0$
- Buradan kökler $x-2=0 \implies x=2$ ve $x+1=0 \implies x=-1$ olarak bulunur.
- Adım 3: İşaret Tablosu Oluşturma (veya Grafik Yorumlama)
- Bulduğumuz kökler $x=-1$ ve $x=2$ sayı doğrusunu üç aralığa böler: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$ ve $(2, \infty)$. Şimdi bu aralıklarda $x^2 - x - 2$ ifadesinin işaretini inceleyelim.
- $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($+1$) olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu durumda kökler arasında (yani $(-1, 2)$ aralığında) ifade negatif değerler alırken, köklerin dışında (yani $(-\infty, -1)$ ve $(2, \infty)$ aralıklarında) pozitif değerler alır.
- İşaret tablosu şu şekilde özetlenebilir:
- $x < -1$ için (örneğin $x=-2$): $(-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0$ (Pozitif)
- $-1 < x < 2$ için (örneğin $x=0$): $(0)^2 - (0) - 2 = 0 - 0 - 2 = -2 < 0$ (Negatif)
- $x > 2$ için (örneğin $x=3$): $(3)^2 - (3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0$ (Pozitif)
- Adım 4: Çözüm Kümesini Belirleme
- Biz $x^2 - x - 2 < 0$ eşitsizliğinin çözümünü arıyorduk. İşaret tablosuna göre, bu ifade $x$ değerleri $-1$ ile $2$ arasında olduğunda negatif değerler almaktadır. Eşitsizlikte "büyüktür" veya "küçüktür" ($>$ veya $<$) olduğu için kökler çözüm kümesine dahil değildir.
- Bu durumda çözüm kümesi $(-1, 2)$ aralığıdır.
Bu çözüm kümesi seçeneklerde C şıkkında verilmiştir.
Cevap C seçeneğidir.
