Buna göre, $g(x) = -f(x+1)+3$ fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(-1, 3)$
B) $(1, 3)$
C) $(-1, -3)$
D) $(1, -3)$
E) $(3, -1)$
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun grafiği üzerindeki dönüşümleri ve bu dönüşümlerin tepe noktasını nasıl etkilediğini adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!
1. Adım: Temel Fonksiyonu ve Tepe Noktasını Belirleyelim
Soruda bize $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $y = x^2$ parabolünün grafiği olduğu söyleniyor. Yani, $f(x) = x^2$.
Bu temel parabolün tepe noktası, hepimizin bildiği gibi, koordinat sisteminin başlangıç noktası olan $(0,0)$ noktasıdır. Bu noktayı referans alarak dönüşümleri uygulayacağız.
2. Adım: Dönüşümleri Anlayalım ve Sırasıyla Uygulayalım
Bize verilen yeni fonksiyon $g(x) = -f(x+1)+3$ şeklindedir. Bu ifade, $f(x)$ fonksiyonuna sırasıyla üç farklı dönüşüm uygulandığını gösterir. Bu dönüşümleri tepe noktası $(0,0)$ üzerine adım adım uygulayalım:
a) Yatay Kaydırma ($f(x+1)$): Parantez içindeki $x+1$ ifadesi, grafiği $x$ ekseni üzerinde 1 birim sola kaydırır.
Orijinal tepe noktamız $(0,0)$ idi. 1 birim sola kaydırdığımızda $x$ koordinatı $0-1 = -1$ olur. $y$ koordinatı değişmez.
Yeni tepe noktamız şimdi $(-1,0)$ oldu.
b) x-eksenine Göre Yansıma ($-f(\dots)$): Fonksiyonun önündeki eksi işareti, grafiği $x$ eksenine göre yansıtır. Bu, $y$ koordinatının işaretini değiştirir.
Şu anki tepe noktamız $(-1,0)$ idi. $y$ koordinatını eksi ile çarptığımızda $0 \times (-1) = 0$ olacağı için tepe noktasının $y$ koordinatı değişmez.
Tepe noktamız hala $(-1,0)$ olarak kalır.
c) Dikey Kaydırma ($+3$): Fonksiyonun sonundaki $+3$ sayısı, grafiği dikeyde 3 birim yukarı kaydırır. Bu, $y$ koordinatına $3$ eklemek anlamına gelir.
Şu anki tepe noktamız $(-1,0)$ idi. 3 birim yukarı kaydırdığımızda $y$ koordinatı $0+3 = 3$ olur. $x$ koordinatı değişmez.
Son tepe noktamız $(-1,3)$ olarak bulunur.
3. Adım: Sonucu Kontrol Edelim
Tüm dönüşümleri uyguladıktan sonra $g(x)$ fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasının koordinatlarını $(-1,3)$ olarak bulduk.
Bu, seçenekler arasında A seçeneğinde verilen koordinatlarla eşleşmektedir.
