Denklem sisteminin çözüm kümesini bulmak için, her iki denklemi de aynı anda sağlayan $(x, y)$ noktalarını bulmamız gerekir. Bu sistemde bir parabol denklemi ($y = x^2-4x+3$) ve bir doğru denklemi ($y = x-1$) bulunmaktadır. Çözüm noktaları, parabol ile doğrunun kesişim noktalarıdır.
Her iki denklemde de $y$ yalnız bırakıldığı için, $y$ değerlerini birbirine eşitleyerek $x$ değişkenine bağlı tek bir denklem elde edebiliriz:
$x^2-4x+3 = x-1$
Şimdi bu denklemi standart bir ikinci dereceden denklem ($ax^2+bx+c=0$) haline getirelim. Bunun için tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım:
$x^2-4x+3 - x + 1 = 0$
$x^2-5x+4 = 0$
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $4$ ve toplamları $-5$ olan iki sayı $-1$ ve $-4$'tür. Bu durumda denklem şu şekilde çarpanlarına ayrılır:
$(x-1)(x-4) = 0$
Bu denklemin çözümleri, her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek bulunur:
$x-1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x-4 = 0 \implies x_2 = 4$
Böylece $x$ için iki farklı değer bulduk.
Bulduğumuz her bir $x$ değeri için, denklemlerden (genellikle daha basit olan doğrusal denklem $y = x-1$ kullanılır) karşılık gelen $y$ değerini bulmalıyız.
$y = x-1$ denkleminde $x$ yerine $1$ yazalım:
$y_1 = 1-1 = 0$
İlk çözüm noktamız $(1, 0)$'dır.
$y = x-1$ denkleminde $x$ yerine $4$ yazalım:
$y_2 = 4-1 = 3$
İkinci çözüm noktamız $(4, 3)$'tür.
Bulduğumuz çözüm noktalarını bir küme içinde ifade edelim. Çözüm kümesi, her iki denklemi de sağlayan tüm $(x, y)$ çiftlerinden oluşur:
Çözüm Kümesi $= \{(1, 0), (4, 3)\}$
Bu çözüm kümesi, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
