🎓 11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 5. senaryo Test 2 - Ders Notu
Sevgili öğrenciler, bu ders notu, 11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı sınavınızda karşınıza çıkabilecek fonksiyonlarda dönüşümler, parabol, trigonometrik fonksiyonlar, kosinüs-sinüs teoremleri ve toplam-fark-yarım açı formülleri gibi temel konuları sade bir dille özetlemektedir. Bu konuları iyi anladığınızda sınavda başarılı olmanız çok daha kolay olacaktır.
📌 Fonksiyonlarda Dönüşümler
Bir fonksiyonun grafiği üzerinde yapılan değişikliklere dönüşüm denir. Bu dönüşümler, fonksiyonun grafiğini kaydırabilir, yansıtabilir veya sıkıştırıp genişletebilir.
- Düşey Kaydırma: $y = f(x) + c$ ise grafik $c$ birim yukarı, $y = f(x) - c$ ise $c$ birim aşağı kayar ($c > 0$).
- Yatay Kaydırma: $y = f(x - c)$ ise grafik $c$ birim sağa, $y = f(x + c)$ ise $c$ birim sola kayar ($c > 0$).
- Yansıma:
- $y = -f(x)$ ise grafik x eksenine göre yansır.
- $y = f(-x)$ ise grafik y eksenine göre yansır.
💡 İpucu: Yatay kaydırmalarda işaretin tersi yöne hareket ettiğini unutmayın! Örneğin, $f(x+2)$ sola kayar.
📌 Parabol
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğine parabol denir. Genel denklemi $y = ax^2 + bx + c$ şeklindedir ($a \neq 0$).
- Tepe Noktası: Parabolün en alt veya en üst noktasıdır. Koordinatları $T(r, k)$ olmak üzere, $r = -\frac{b}{2a}$ ve $k = f(r)$ ile bulunur.
- Simetri Ekseni: Tepe noktasından geçen ve y eksenine paralel olan doğruya denir. Denklemi $x = r$ yani $x = -\frac{b}{2a}$'dır.
- Kolların Yönü: $a > 0$ ise parabolün kolları yukarı, $a < 0$ ise aşağı doğrudur.
- Kökler (x eksenini kestiği noktalar): $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökleridir. Diskriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) ile bulunur.
- $\Delta > 0$ ise iki farklı gerçek kök var.
- $\Delta = 0$ ise çakışık iki kök (tek kök), parabol x eksenine teğet.
- $\Delta < 0$ ise gerçek kök yok, parabol x eksenini kesmez.
⚠️ Dikkat: Parabolün y eksenini kestiği nokta $(0, c)$'dir. Bu nokta, $x=0$ yazılarak bulunur.
📌 Trigonometrik Fonksiyonlar
Açı ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri inceleyen matematik dalıdır. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile tanımlanır.
- Birim Çember: Merkezi başlangıç noktası $(0,0)$ ve yarıçapı $1$ birim olan çemberdir.
- Sinüs ($\sin x$): Birim çember üzerindeki bir açının bitim noktasının y koordinatıdır.
- Kosinüs ($\cos x$): Birim çember üzerindeki bir açının bitim noktasının x koordinatıdır.
- Tanjant ($\tan x$): $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$'tir. ($ \cos x \neq 0 $)
- Kotanjant ($\cot x$): $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$'tir. ($ \sin x \neq 0 $)
- Temel Özdeşlik: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
💡 İpucu: Özel açıların (örneğin $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$) sinüs ve kosinüs değerlerini birim çember veya özel üçgenler yardımıyla ezberlemek işinizi çok kolaylaştırır.
📌 Kosinüs ve Sinüs Teoremleri
Üçgenlerde kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkileri bulmak için kullanılır.
- Kosinüs Teoremi: Bir üçgende iki kenar ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa üçüncü kenarı veya üç kenar biliniyorsa açıları bulmak için kullanılır. Bir $ABC$ üçgeninde kenarlar $a, b, c$ ve karşılarındaki açılar $A, B, C$ ise:
- $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
- $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
- $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
- Sinüs Teoremi: Bir üçgende bir kenar ve karşısındaki açı ile başka bir kenar veya açı arasındaki ilişkiyi kurar. Ayrıca üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ($R$) ile de ilişkilidir:
- $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
⚠️ Dikkat: Kosinüs teoremi genellikle iki kenar ve aradaki açı veya üç kenar verildiğinde; Sinüs teoremi ise bir kenar ve karşısındaki açı ile başka bir kenar veya açı verildiğinde tercih edilir.
📌 Toplam-Fark ve Yarım Açı Formülleri
İki açının toplamı veya farkının trigonometrik değerlerini ya da bir açının yarısının/iki katının trigonometrik değerlerini bulmak için kullanılır.
- Toplam-Fark Formülleri:
- $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
- $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
- $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
- $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
- $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
- $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$
- Yarım Açı Formülleri: (Toplam-Fark formüllerinden $B=A$ alınarak elde edilir.)
- $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$
- $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2 \sin^2 A$
- $\tan(2A) = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$
💡 İpucu: Bu formüller, karmaşık trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek veya bilmediğiniz açıların trigonometrik değerlerini bilinen açılar yardımıyla bulmak için çok güçlü araçlardır. Bol bol pratik yaparak formüllere hakim olun!
