11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 5. senaryo Test 2

$x^2+3x-4 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

A) $(-4, 1)$

B) $[-4, 1]$

C) $(-\infty, -4) \cup (1, \infty)$

D) $(-\infty, -4] \cup [1, \infty)$

E) $(-1, 4)$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir eşitsizliğin çözüm kümesini adım adım bulacağız. Eşitsizliğimiz $x^2+3x-4 < 0$ şeklindedir.

• 1. Adım: Eşitsizliği bir denkleme dönüştürerek kritik noktaları bulun.

  Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi sıfıra eşitleyerek köklerini (kritik noktalarını) bulmalıyız. Bu kökler, eşitsizliğin işaret değiştirdiği noktalardır.

  $x^2+3x-4 = 0$

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-4$ ve toplamları $3$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $4$ ve $-1$'dir.

  $(x+4)(x-1) = 0$

  Buradan kökler (kritik noktalar) şunlardır:

  $x+4 = 0 \implies x_1 = -4$

  $x-1 = 0 \implies x_2 = 1$

  Kritik noktalarımız $-4$ ve $1$'dir.

• 2. Adım: İşaret tablosu oluşturun veya aralıkları test edin.

  Kritik noktalarımız olan $-4$ ve $1$, sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, -4)$, $(-4, 1)$ ve $(1, \infty)$. Şimdi bu aralıklarda $x^2+3x-4$ ifadesinin işaretini belirlemeliyiz.

  İkinci dereceden bir ifadenin ($ax^2+bx+c$) işaretini belirlerken, $a$ katsayısının işaretine bakabiliriz. Burada $x^2$'nin katsayısı $1$ (yani pozitif) olduğu için, parabol yukarı doğru açılır. Bu durumda, kökler arasında ifade negatif, köklerin dışında ise pozitiftir.

  İsterseniz her aralıktan bir test değeri seçerek de kontrol edebiliriz:

  • Aralık $(-\infty, -4)$ için: $x = -5$ seçelim.
  • $(-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6$. İşaret: Pozitif (+)
  • Aralık $(-4, 1)$ için: $x = 0$ seçelim.
  • $(0)^2 + 3(0) - 4 = 0 + 0 - 4 = -4$. İşaret: Negatif (-)
  • Aralık $(1, \infty)$ için: $x = 2$ seçelim.
  • $(2)^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6$. İşaret: Pozitif (+)
• 3. Adım: Eşitsizliğin çözüm kümesini belirleyin.

  Bizim eşitsizliğimiz $x^2+3x-4 < 0$ idi. Yani, ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz.

  İşaret tablosuna veya test ettiğimiz değerlere göre, ifadenin negatif olduğu aralık $(-4, 1)$'dir.

  Eşitsizlikte "küçük eşittir" ($\le$) değil, "küçüktür" ($<$) işareti olduğu için, kritik noktalar çözüm kümesine dahil edilmez. Bu yüzden açık aralık kullanırız.

  Çözüm kümesi: $(-4, 1)$

Bu çözüm kümesi, verilen seçeneklerden A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.