$f(x)$ fonksiyonunun grafiği, x eksenini $(-3,0)$ ve $(1,0)$ noktalarında kesen ve tepe noktası $(-1,-4)$ olan bir paraboldür.
Buna göre, $y = f(x+1)$ fonksiyonunun tepe noktası ve x eksenini kestiği noktaların koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) Tepe noktası: $(-2,-4)$, x eksenini kestiği noktalar: $(-4,0)$ ve $(0,0)$
B) Tepe noktası: $(0,-4)$, x eksenini kestiği noktalar: $(-2,0)$ ve $(2,0)$
C) Tepe noktası: $(-1,-5)$, x eksenini kestiği noktalar: $(-3,0)$ ve $(1,0)$
D) Tepe noktası: $(-1,-3)$, x eksenini kestiği noktalar: $(-4,0)$ ve $(0,0)$
E) Tepe noktası: $(-2,-3)$, x eksenini kestiği noktalar: $(-3,0)$ ve $(1,0)$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir parabolün grafiği üzerinde yapılan bir dönüşümün, tepe noktasını ve x eksenini kestiği noktaları nasıl etkilediğini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.
- 1. Adım: Verilen $f(x)$ fonksiyonunun özelliklerini anlayalım.
- $f(x)$ fonksiyonunun grafiği bir paraboldür.
- x eksenini kestiği noktalar (kökler): $(-3,0)$ ve $(1,0)$. Bu noktalar, $f(x)=0$ denklemini sağlayan x değerleridir. Yani, $f(-3)=0$ ve $f(1)=0$'dır.
- Tepe noktası: $(-1,-4)$. Bu nokta, parabolün en yüksek veya en alçak noktasıdır.
- 2. Adım: $y = f(x+1)$ fonksiyonunun ne anlama geldiğini kavrayalım.
- Bir fonksiyonun içine $x$ yerine $(x+c)$ yazmak, grafiği yatay olarak kaydırır. Eğer $c>0$ ise grafik sola, $c<0$ ise grafik sağa kayar.
- Bizim durumumuzda, $f(x+1)$ ifadesi, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $1$ birim sola kaydırmak anlamına gelir.
- Bu tür bir yatay kaydırma, grafiğin y-koordinatlarını değiştirmez, sadece x-koordinatlarını etkiler.
- 3. Adım: $y = f(x+1)$ fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.
- $f(x)$ fonksiyonunun tepe noktası $(-1,-4)$ idi.
- Grafik $1$ birim sola kaydığı için, tepe noktasının x-koordinatı $1$ birim azalacaktır.
- Yeni tepe noktasının x-koordinatı: $-1 - 1 = -2$.
- Y-koordinatı değişmez: $-4$.
- Buna göre, $y = f(x+1)$ fonksiyonunun tepe noktası $(-2,-4)$ olur.
- 4. Adım: $y = f(x+1)$ fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaları bulalım.
- $f(x)$ fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar $x=-3$ ve $x=1$ idi. Yani, $f(-3)=0$ ve $f(1)=0$.
- $y = f(x+1)$ fonksiyonunun x eksenini kestiği noktaları bulmak için, $f(x+1)=0$ denklemini çözmeliyiz.
- Bu denklemin sağlanması için, $(x+1)$ ifadesinin $-3$ veya $1$ olması gerekir.
- Birinci kök için: $x+1 = -3 \implies x = -3 - 1 \implies x = -4$. Yani, birinci kesim noktası $(-4,0)$.
- İkinci kök için: $x+1 = 1 \implies x = 1 - 1 \implies x = 0$. Yani, ikinci kesim noktası $(0,0)$.
- Buna göre, $y = f(x+1)$ fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar $(-4,0)$ ve $(0,0)$ olur.
- 5. Adım: Sonuçları seçeneklerle karşılaştıralım.
- Bulduğumuz tepe noktası: $(-2,-4)$
- Bulduğumuz x eksenini kestiği noktalar: $(-4,0)$ ve $(0,0)$
- Bu sonuçlar A seçeneği ile tamamen uyuşmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
