11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo meb Test 3

$x^2 - 5x + 6 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$

B) $(2, 3)$

C) $(-\infty, 2]$

D) $[3, \infty)$

E) $(-\infty, 3)$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle ikinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi görelim.

• 1. Adım: Eşitsizliği Bir Denkleme Dönüştürerek Kökleri Bulma

  Öncelikle, verilen $x^2 - 5x + 6 > 0$ eşitsizliğini bir denklem gibi düşünerek köklerini bulmalıyız. Yani $x^2 - 5x + 6 = 0$ denklemini çözeceğiz.

  Bu denklemi çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebiliriz. Çarpımları $+6$ ve toplamları $-5$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-2$ ve $-3$'tür.

  Denklemi çarpanlarına ayırırsak:

  $(x - 2)(x - 3) = 0$

  Buradan köklerimizi buluruz:

  • $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
  • $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

  Bu kökler, eşitsizliğimizin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.

• 2. Adım: İşaret Tablosu Oluşturma (veya Aralıkları Belirleme)

  Bulduğumuz kökleri ($2$ ve $3$) sayı doğrusu üzerinde küçükten büyüğe doğru yerleştiririz. Bu kökler, sayı doğrusunu üç farklı aralığa ayırır:

  • $(-\infty, 2)$
  • $(2, 3)$
  • $(3, \infty)$

  Şimdi, $x^2 - 5x + 6$ ifadesinin bu aralıklardaki işaretini belirlemeliyiz. İkinci dereceden bir ifadenin (parabolün) işaretini belirlerken, $x^2$ teriminin katsayısına bakarız. Burada $x^2$'nin katsayısı $1$ (pozitif) olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu durumda, köklerin dışında pozitif, köklerin arasında ise negatif işaret alır.

  İşaret tablosu şu şekilde olacaktır:

  $x \quad | \quad -\infty \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad +\infty$
  $--------------------------------------------------$
  $x^2-5x+6 \quad | \quad \quad + \quad \quad 0 \quad \quad - \quad \quad 0 \quad \quad + \quad \quad$

• 3. Adım: Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme

  Bizim eşitsizliğimiz $x^2 - 5x + 6 > 0$ idi. Yani ifadenin pozitif olduğu aralıkları arıyoruz. İşaret tablosuna baktığımızda, ifadenin pozitif olduğu aralıklar şunlardır:

  • $(-\infty, 2)$
  • $(3, \infty)$

  Eşitsizlikte "büyüktür" ($>$) işareti olduğu için, kökler ($2$ ve $3$) çözüm kümesine dahil edilmez. Bu yüzden parantez kullanırız (köşeli parantez değil).

• 4. Adım: Çözüm Kümesini Yazma

  Bulduğumuz aralıkları birleştirerek çözüm kümesini yazarız. Birleşim sembolü ($\cup$) kullanırız.

  Çözüm Kümesi: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$

Bu çözüm kümesi, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.