11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo meb Test 3

$-x^2 + 2x + 8 \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[-2, 4]$

B) $(-\infty, -2] \cup [4, \infty)$

C) $(-2, 4)$

D) $[2, -4]$

E) $[-4, 2]$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.

• Adım 1: Eşitsizliği Daha Kolay Bir Formata Getirme
• Verilen eşitsizlik: $-x^2 + 2x + 8 \ge 0$.
• Genellikle $x^2$ teriminin katsayısını pozitif yapmak işimizi kolaylaştırır. Bu yüzden eşitsizliğin her iki tarafını $-1$ ile çarpalım. Ancak unutmayın, bir eşitsizliği negatif bir sayı ile çarptığımızda veya böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir!
• $(-1) \cdot (-x^2 + 2x + 8) \le (-1) \cdot 0$
• Bu durumda yeni eşitsizliğimiz: $x^2 - 2x - 8 \le 0$ olur.
• Adım 2: Kökleri Bulma
• Şimdi $x^2 - 2x - 8 = 0$ denkleminin köklerini bulmalıyız. Bu kökler, eşitsizliğin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.
• Denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri bulabiliriz. Çarpımları $-8$ ve toplamları $-2$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-4$ ve $2$'dir.
• Yani, $(x - 4)(x + 2) = 0$ şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
• Buradan kökler $x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$ ve $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ olarak bulunur.
• Adım 3: İşaret Tablosu Oluşturma veya Parabolü Yorumlama
• Bulduğumuz kökler ($x = -2$ ve $x = 4$) sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, -2)$, $(-2, 4)$ ve $(4, \infty)$.
• Bizim incelediğimiz eşitsizlik $x^2 - 2x - 8 \le 0$ idi. Bu bir parabol denklemidir ($y = x^2 - 2x - 8$). $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($1 > 0$) olduğu için parabolün kolları yukarıya doğrudur.
• Kolları yukarı doğru olan bir parabol, kökleri arasında negatif değerler alır, köklerinin dışında ise pozitif değerler alır.
• İşaret tablosu ile kontrol edelim:
  • $x < -2$ için (örneğin $x = -3$): $(-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0$ (Pozitif)
  • $-2 < x < 4$ için (örneğin $x = 0$): $(0)^2 - 2(0) - 8 = -8 < 0$ (Negatif)
  • $x > 4$ için (örneğin $x = 5$): $(5)^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0$ (Pozitif)
• Biz $x^2 - 2x - 8 \le 0$ eşitsizliğinin çözümünü aradığımız için, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralıkları bulmalıyız.
• Adım 4: Çözüm Kümesini Belirleme
• İşaret tablosuna göre, $x^2 - 2x - 8$ ifadesi $-2$ ile $4$ arasında negatif değerler almaktadır.
• Eşitsizliğimiz $\le 0$ olduğu için, ifadenin sıfır olduğu noktaları (yani kökleri) de çözüm kümesine dahil etmeliyiz.
• Bu durumda çözüm kümesi $[-2, 4]$ aralığıdır.

Cevap A seçeneğidir.