Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulacağız. İki ayrı eşitsizliği çözdükten sonra, bu çözümlerin kesişimini alarak sistemin çözüm kümesini elde edeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- Birinci Eşitsizliğin Çözümü: $x^2 - 16 \ge 0$
- Bu eşitsizliği çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım: $(x-4)(x+4) \ge 0$.
- Kritik noktalar (kökler) $x = 4$ ve $x = -4$'tür.
- Bu bir parabol denklemi olduğu için (kolları yukarı doğru), ifadenin pozitif veya sıfır olduğu aralıkları bulmak için işaret tablosu oluşturabiliriz veya parabolün grafiğini düşünebiliriz. Köklerin dışında kalan bölgelerde ifade pozitif veya sıfırdır.
- Yani, $x \le -4$ veya $x \ge 4$ olmalıdır.
- Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi $S_1 = (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$'dur.
- İkinci Eşitsizliğin Çözümü: $x^2 - 5x + 4 < 0$
- Bu eşitsizliği çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım: $(x-1)(x-4) < 0$.
- Kritik noktalar (kökler) $x = 1$ ve $x = 4$'tür.
- Bu da bir parabol denklemi olduğu için (kolları yukarı doğru), ifadenin negatif olduğu aralığı bulmak için işaret tablosu oluşturabiliriz. Kökler arasında kalan bölgede ifade negatiftir.
- Yani, $1 < x < 4$ olmalıdır.
- İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi $S_2 = (1, 4)$'tür.
- Eşitsizlik Sisteminin Çözüm Kümesi:
- Sistemin çözüm kümesi, her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimidir: $S = S_1 \cap S_2$.
- $S_1 = (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$
- $S_2 = (1, 4)$
- Bu iki kümeyi sayı doğrusu üzerinde düşünelim:
- $S_1$ kümesi, $-4$ ve daha küçük sayılar ile $4$ ve daha büyük sayıları içerir.
- $S_2$ kümesi, $1$ ile $4$ arasındaki sayıları ( $1$ ve $4$ dahil değil) içerir.
- Görüldüğü gibi, $S_1$'in ilk parçası olan $(-\infty, -4]$ ile $S_2 = (1, 4)$ arasında bir kesişim yoktur.
- $S_1$'in ikinci parçası olan $[4, \infty)$ ile $S_2 = (1, 4)$ arasında da bir kesişim yoktur. Çünkü $S_2$ kümesinde $x$ değeri $4$'ten kesinlikle küçüktür, oysa $S_1$'in bu parçasında $x$ değeri $4$'e eşit veya $4$'ten büyüktür. Yani $x=4$ noktası $S_1$'de var iken $S_2$'de yoktur.
- Bu durumda, her iki eşitsizliği aynı anda sağlayan hiçbir $x$ değeri bulunmamaktadır.
- Dolayısıyla, çözüm kümesi boş kümedir: $S = \emptyset$.
Cevap E seçeneğidir.
