Denklem sisteminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? $x^2+y^2=10$ $y=x^2-2$
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki denklemin oluşturduğu bir denklem sisteminin çözüm kümesinin kaç elemanlı olduğunu bulmamız isteniyor. Yani, her iki denklemi de aynı anda sağlayan kaç farklı $(x, y)$ ikilisi olduğunu bulacağız.
Verilen denklemler şunlardır:
$x^2+y^2=10$ (Birinci denklem)
$y=x^2-2$ (İkinci denklem)
İkinci denklemden $x^2$ ifadesini yalnız bırakalım: $x^2 = y+2$.
Şimdi bu $x^2$ ifadesini birinci denklemde yerine yazalım. Böylece denklem sadece $y$ değişkenine bağlı hale gelecek:
$(y+2)+y^2=10$
Bu denklemi düzenleyerek standart bir ikinci dereceden denklem oluşturalım:
$y^2+y+2-10=0$
$y^2+y-8=0$
Bu ikinci dereceden denklemin kaç tane gerçek $y$ değeri verdiğini bulmak için diskriminantına ($\Delta$) bakalım. Diskriminant formülü $\Delta = b^2-4ac$'dir. Burada $a=1$, $b=1$ ve $c=-8$'dir.
$\Delta = (1)^2 - 4(1)(-8)$
$\Delta = 1 + 32$
$\Delta = 33$
Diskriminant $\Delta = 33$ olduğu için, $\Delta > 0$'dır. Bu, $y^2+y-8=0$ denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğu anlamına gelir. Bu kökler:
Şimdi bulduğumuz bu $y$ değerlerinin geçerli olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. İkinci denklem $y=x^2-2$ idi. $x^2$ her zaman $0$ veya $0$'dan büyük bir değer olduğu için ($x^2 \ge 0$), $y$ değeri de $y \ge 0-2$, yani $y \ge -2$ olmalıdır.
$2.35 \ge -2$ olduğu için bu $y_1$ değeri geçerlidir. Bu $y_1$ değeri için $x^2 = y_1+2 = \frac{-1+\sqrt{33}}{2}+2 = \frac{-1+\sqrt{33}+4}{2} = \frac{3+\sqrt{33}}{2}$ olur. Bu değer pozitif olduğu için, bu $y_1$ değerine karşılık gelen iki farklı gerçek $x$ değeri vardır: $x = \pm\sqrt{\frac{3+\sqrt{33}}{2}}$.
$-3.35 < -2$ olduğu için bu $y_2$ değeri geçerli değildir. Eğer $y_2 = -3.35$ olsaydı, $x^2 = y_2+2 = -3.35+2 = -1.35$ olurdu. Bir gerçek sayının karesi negatif olamayacağı için, bu $y_2$ değerine karşılık gelen gerçek bir $x$ değeri yoktur.
Sonuç olarak, sadece bir tane geçerli $y$ değeri ($y_1$) bulduk. Bu $y_1$ değeri için ise iki farklı gerçek $x$ değeri bulduk. Bu da bize iki farklı $(x, y)$ çözüm ikilisi verir:
