Denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$x^2-y^2=8$
$x+y=4$
A) $\lbrace (3,1) \rbrace$
B) $\lbrace (1,3) \rbrace$
C) $\lbrace (3,1), (-3,-1) \rbrace$
D) $\lbrace (1,3), (-1,-3) \rbrace$
E) $\lbrace (3,1), (1,3) \rbrace$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki bilinmeyenli bir denklem sisteminin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Denklem sistemimiz şu şekilde:
Şimdi bu sistemi adım adım çözelim:
- Birinci Denklemi Çarpanlarına Ayırma: İlk denklem olan $x^2-y^2=8$ ifadesi, matematikte çok sık karşılaştığımız "iki kare farkı" özdeşliğidir. Bu özdeşlik, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ şeklindedir. Bu kuralı kullanarak birinci denklemi yeniden yazalım:
- $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
- Yani, birinci denklemimiz $(x-y)(x+y)=8$ halini alır.
- İkinci Denklemi Yerine Koyma: İkinci denklemden $x+y=4$ olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi, çarpanlarına ayırdığımız birinci denklemde yerine koyabiliriz:
- Yeni Bir Denklem Elde Etme: Şimdi elimizde daha basit bir denklem var. Bu denklemi $x-y$ için çözelim:
- $4(x-y)=8$
- Her iki tarafı $4$'e böldüğümüzde: $x-y=\frac{8}{4}$
- Buradan $x-y=2$ sonucunu elde ederiz.
- İki Lineer Denklem Sistemini Çözme: Artık elimizde iki tane basit, lineer denklem var:
- $x+y=4$ (Bu, başlangıçtaki ikinci denklemimizdi.)
- $x-y=2$ (Bu da yeni elde ettiğimiz denklem.)
Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak $y$ değişkenini yok edebiliriz:
- $(x+y) + (x-y) = 4+2$
- $x+y+x-y = 6$
- $2x = 6$
- Her iki tarafı $2$'ye böldüğümüzde $x=\frac{6}{2}$ yani $x=3$ buluruz.
- $y$ Değerini Bulma: Bulduğumuz $x=3$ değerini, lineer denklemlerden herhangi birinde yerine koyarak $y$ değerini bulabiliriz. $x+y=4$ denklemini kullanalım:
- $3+y=4$
- $y=4-3$
- Buradan $y=1$ sonucunu elde ederiz.
- Çözüm Kümesini Belirleme: Denklem sistemini sağlayan $(x,y)$ ikilisi $(3,1)$'dir. Bu durumda çözüm kümesi $\lbrace (3,1) \rbrace$ olarak yazılır.
Bulduğumuz çözüm kümesi seçeneklere baktığımızda A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
