$x^2-4x-5 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(-5,1)$
B) $(-\infty,-1) \cup (5,\infty)$
C) $(-1,5)$
D) $(-\infty,-5) \cup (1,\infty)$
E) $[-1,5]$
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Eşitsizliği Denkleme Dönüştürme ve Kökleri Bulma:
- Öncelikle, verilen $x^2-4x-5 < 0$ eşitsizliğini bir denklem gibi düşünerek köklerini bulmalıyız. Bunun için $x^2-4x-5 = 0$ denklemini çözelim.
- Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-5$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-5$ ve $1$'dir.
- Yani, denklemi $(x-5)(x+1) = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Bu denklemin kökleri, her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek bulunur:
- $x-5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$
- $x+1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$
- Bu kökler, eşitsizliğin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.
- 2. İşaret Tablosu Oluşturma (veya Parabol Analizi):
- Şimdi, bulduğumuz kökleri kullanarak eşitsizliğin işaretini inceleyelim. $x^2-4x-5$ ifadesi, $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($1 > 0$) olduğu için kolları yukarı doğru olan bir paraboldür.
- Kolları yukarı doğru olan bir parabol, kökleri arasında (yani $x_2 < x < x_1$ aralığında) negatif değerler alır. Köklerin dışında ise pozitif değerler alır.
- Köklerimiz $-1$ ve $5$ olduğuna göre, $-1 < x < 5$ aralığında $x^2-4x-5$ ifadesi negatif olacaktır.
- Dilerseniz bir işaret tablosu ile de kontrol edebiliriz:
| $x$ |
$-\infty$ |
|
$-1$ |
|
$5$ |
|
$+\infty$ |
| $(x-5)$ |
|
$-$ |
|
$-$ |
$0$ |
$+$ |
|
| $(x+1)$ |
|
$-$ |
$0$ |
$+$ |
|
$+$ |
|
| $x^2-4x-5$ |
|
$+$ |
$0$ |
$-$ |
$0$ |
$+$ |
|
- Tablodan da görüldüğü gibi, $x^2-4x-5$ ifadesi, $x$ değerleri $-1$ ile $5$ arasında olduğunda negatiftir.
- 3. Çözüm Kümesini Belirleme:
- Eşitsizliğimiz $x^2-4x-5 < 0$ olduğu için, ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz.
- Bu aralık $(-1, 5)$'tir. Eşitsizlik "küçük eşit" değil, "küçük" olduğu için kökler çözüm kümesine dahil edilmez ve açık aralık kullanılır.
Bu durumda çözüm kümesi $(-1, 5)$ aralığıdır.
Cevap C seçeneğidir.
