Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulacağız. Adım adım ilerleyerek her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözecek ve ardından bu çözümlerin kesişimini alacağız.
İlk eşitsizliğimiz $x^2-6x+9 > 0$ şeklindedir.
Bu ifadeyi dikkatlice incelediğimizde, bir tam kare ifade olduğunu görebiliriz. $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ formülünü hatırlayalım. Burada $a=x$ ve $b=3$ alırsak, $(x-3)^2 = x^2-2(x)(3)+3^2 = x^2-6x+9$ olur.
Yani eşitsizliğimiz $(x-3)^2 > 0$ haline gelir.
Bir sayının karesi her zaman sıfırdan büyük veya eşittir. $(x-3)^2$ ifadesinin sıfırdan büyük olması için, $(x-3)$ ifadesinin sıfır olmaması gerekir. Eğer $x-3=0$ olursa, $(x-3)^2=0$ olur ve bu da eşitsizliği sağlamaz.
Bu durumda $x-3 \ne 0$ olmalıdır, yani $x \ne 3$.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi $Ç_1 = (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$ olarak bulunur. Bu, $x$ sayısının $3$ dışındaki tüm reel sayılar olabileceği anlamına gelir.
İkinci eşitsizliğimiz $x^2-2x-3 \le 0$ şeklindedir.
Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir. Öncelikle köklerini bulmak için $x^2-2x-3 = 0$ denklemini çözelim. Çarpanlara ayırma yöntemiyle bu denklemi çözebiliriz:
$(x-3)(x+1) = 0$
Buradan kökler $x-3=0 \implies x=3$ ve $x+1=0 \implies x=-1$ olarak bulunur.
Şimdi bu kökleri kullanarak eşitsizliğin işaretini inceleyelim. $x^2-2x-3$ ifadesinin baş katsayısı (yani $x^2$'nin katsayısı) $1$ olup pozitiftir. Bu durumda parabol yukarı doğru açılır. Kökler $-1$ ve $3$ olduğundan, ifade kökler arasında negatif değerler alır ve köklerde sıfır olur.
Yani, $x^2-2x-3 \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi kökler dahil olmak üzere kökler arasındaki değerlerdir.
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi $Ç_2 = [-1, 3]$ olarak bulunur. Bu, $x$ sayısının $-1$'e eşit veya büyük ve $3$'e eşit veya küçük olabileceği anlamına gelir.
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan $x$ değerlerinden oluşur. Yani $Ç_1 \cap Ç_2$ kesişimini bulmalıyız.
$Ç_1 = (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$
$Ç_2 = [-1, 3]$
Bu iki kümeyi bir sayı doğrusu üzerinde düşünelim:
Her iki koşulu da sağlayan $x$ değerleri, $-1 \le x \le 3$ koşulunu sağlarken aynı zamanda $x \ne 3$ koşulunu da sağlamalıdır.
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $x$ değeri $-1$'e eşit veya büyük olmalı ve $3$'ten kesinlikle küçük olmalıdır. Yani $x=3$ değeri ikinci eşitsizliği sağlasa da, birinci eşitsizliği sağlamadığı için çözüm kümesine dahil edilemez.
Dolayısıyla, çözüm kümesi $[-1, 3)$ aralığıdır.
Cevap A seçeneğidir.
