Bir şirketin günlük üretim maliyeti $C(x) = 2x^2 - 120x + 2000$ TL fonksiyonu ile modellenmektedir, burada $x$ üretilen ürün miktarını temsil etmektedir. Maliyetin minimum olması için kaç adet ürün üretilmelidir?
A) $20$
B) $30$
C) $40$
D) $50$
E) $60$
Bir şirketin günlük üretim maliyeti $C(x) = 2x^2 - 120x + 2000$ fonksiyonu ile modellenmektedir. Maliyetin minimum olması için kaç adet ürün üretilmesi gerektiğini bulalım:
- 1. Maliyet Fonksiyonunu Tanıyalım:
- Bize verilen maliyet fonksiyonu $C(x) = 2x^2 - 120x + 2000$ şeklindedir. Burada $x$, üretilen ürün miktarını temsil etmektedir.
- 2. Fonksiyonun Tipini Belirleyelim:
- Bu fonksiyon, $ax^2 + bx + c$ genel formuna sahip bir ikinci dereceden (kuadratik) fonksiyondur. Bu tür fonksiyonların grafikleri bir paraboldür.
- 3. Parabolün Yönünü Anlayalım:
- Maliyet fonksiyonumuzda $x^2$'nin katsayısı $a=2$'dir. Bu katsayı pozitif ($a > 0$) olduğu için, parabol yukarı doğru açılır. Yukarı doğru açılan bir parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası fonksiyonun minimum değerini verir. Biz de zaten maliyetin minimum olmasını istiyoruz.
- 4. Minimum Noktanın Formülünü Hatırlayalım:
- Bir $ax^2 + bx + c$ şeklindeki ikinci dereceden fonksiyonun minimum (veya maksimum) değerini aldığı $x$ değeri, parabolün tepe noktasının $x$-koordinatıdır. Bu koordinatın formülü şöyledir: $x = -\frac{b}{2a}$.
- 5. Katsayıları Belirleyelim:
- Maliyet fonksiyonumuz $C(x) = 2x^2 - 120x + 2000$ olduğuna göre, katsayılarımız şunlardır: $a = 2$, $b = -120$ ve $c = 2000$.
- 6. Formülü Uygulayalım:
- Şimdi $a$ ve $b$ değerlerini $x = -\frac{b}{2a}$ formülüne yerleştirelim:
$x = -\frac{-120}{2 \times 2}$
- 7. Hesaplamayı Yapalım:
- $x = -\frac{-120}{4}$
- $x = -(-30)$
- $x = 30$
- 8. Sonucu Yorumlayalım:
- Bulduğumuz $x=30$ değeri, maliyetin minimum olması için üretilmesi gereken ürün miktarını gösterir. Yani, şirket 30 adet ürün ürettiğinde günlük üretim maliyeti en düşük seviyede olacaktır.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $30$ değeri B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
