12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 1. senaryo Test 2

$f(x) = |x-2|$ fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) $x=2$ noktasında türevlenebilirdir.

B) $x < 2$ için $f'(x) = -1$'dir.

C) $x > 2$ için $f'(x) = -1$'dir.

D) $x=2$ noktasında süreksizdir.

E) $x=1$ noktasında türevlenebilir değildir.

• Öncelikle, verilen $f(x) = |x-2|$ fonksiyonunu parçalı fonksiyon olarak yazalım. Mutlak değerin tanımına göre:
  • Eğer $x-2 \ge 0$ ise, yani $x \ge 2$ ise, $f(x) = x-2$ olur.
  • Eğer $x-2 < 0$ ise, yani $x < 2$ ise, $f(x) = -(x-2) = -x+2$ olur.
  Buna göre, $f(x)$ fonksiyonu şu şekildedir: $f(x) = \begin{cases} x-2 & \text{if } x \ge 2 \\ -x+2 & \text{if } x < 2 \end{cases}$
• Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
• A) $x=2$ noktasında türevlenebilirdir.
  • Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması ve sağdan türevinin soldan türevine eşit olması gerekir.
  • Süreklilik kontrolü ($x=2$ noktasında):
    • $f(2) = |2-2| = 0$.
    • $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-x+2) = -2+2 = 0$.
    • $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x-2) = 2-2 = 0$.
    Limitler ve fonksiyon değeri eşit olduğu için $f(x)$ fonksiyonu $x=2$ noktasında süreklidir.
  • Türevlenebilirlik kontrolü ($x=2$ noktasında):
    • $x < 2$ için $f(x) = -x+2$ olduğundan, soldan türev $f'(x) = -1$'dir. Yani $f'(2^-) = -1$.
    • $x > 2$ için $f(x) = x-2$ olduğundan, sağdan türev $f'(x) = 1$'dir. Yani $f'(2^+) = 1$.
    Soldan türev ($ -1 $) sağdan türeve ($ 1 $) eşit olmadığı için $f(x)$ fonksiyonu $x=2$ noktasında türevlenebilir değildir. Bu ifade yanlıştır.
• B) $x < 2$ için $f'(x) = -1$'dir.
  • Yukarıda parçalı fonksiyon tanımında belirttiğimiz gibi, $x < 2$ olduğunda $f(x) = -x+2$ şeklindedir.
  • Bu fonksiyonun türevi $f'(x) = \frac{d}{dx}(-x+2) = -1$'dir.
  • Bu ifade doğrudur.
• C) $x > 2$ için $f'(x) = -1$'dir.
  • Yukarıda parçalı fonksiyon tanımında belirttiğimiz gibi, $x > 2$ olduğunda $f(x) = x-2$ şeklindedir.
  • Bu fonksiyonun türevi $f'(x) = \frac{d}{dx}(x-2) = 1$'dir.
  • Bu ifade yanlıştır, çünkü $f'(x) = 1$ olmalıdır.
• D) $x=2$ noktasında süreksizdir.
  • A seçeneğini incelerken $x=2$ noktasında süreklilik kontrolü yapmıştık. Fonksiyonun bu noktada sürekli olduğunu bulmuştuk.
  • Bu ifade yanlıştır.
• E) $x=1$ noktasında türevlenebilir değildir.
  • $x=1$ noktası, $x < 2$ aralığına düşer. Bu aralıkta $f(x) = -x+2$ şeklindedir.
  • $f(x) = -x+2$ bir doğrusal fonksiyondur ve her noktada türevlenebilirdir. Türevi $f'(x) = -1$'dir.
  • Dolayısıyla, $x=1$ noktasında $f'(1) = -1$ olup fonksiyon türevlenebilirdir.
  • Bu ifade yanlıştır.

Cevap B seçeneğidir.