Bir fonksiyonun bir noktadaki limitini incelerken, o noktadaki soldan ve sağdan limitlerin varlığı ve eşitliği kritik öneme sahiptir.
Öncelikle, $x=2$ noktasına soldan yaklaşırken $f(x)$ fonksiyonunun limitini hesaplayalım. Soldan limit için $x<2$ koşulunu sağlayan kuralı kullanırız:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2+3)$
Bu limit değerini bulmak için $x$ yerine $2$ yazılır:
$\lim_{x \to 2^-} (x^2+3) = (2)^2+3 = 4+3 = 7$
Yani, soldan limit $7$'dir.
İkinci olarak, $x=2$ noktasına sağdan yaklaşırken $f(x)$ fonksiyonunun limitini hesaplayalım. Sağdan limit için $x \ge 2$ koşulunu sağlayan kuralı kullanırız:
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x+1)$
Bu limit değerini bulmak için $x$ yerine $2$ yazılır:
$\lim_{x \to 2^+} (2x+1) = 2 \cdot (2)+1 = 4+1 = 5$
Yani, sağdan limit $5$'tir.
Son olarak, $x=2$ noktasındaki genel limiti inceleyelim. Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin var olabilmesi için o noktadaki soldan ve sağdan limitlerinin var ve birbirine eşit olması gerekir. Bizim durumumuzda:
Soldan limit: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 7$
Sağdan limit: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$
Görüldüğü gibi, soldan limit ($7$) ve sağdan limit ($5$) birbirine eşit değildir ($7 \neq 5$). Bu durumda, $x=2$ noktasında $f(x)$ fonksiyonunun limiti yoktur.
Buna göre, sırasıyla limit değerleri $7, 5, \text{yoktur}$ şeklindedir.
