Merhaba sevgili öğrenciler,
Bir fonksiyonun belirli bir noktada türevlenebilir olması, o noktadaki anlık değişim oranının (eğimin) tek ve belirli bir değerde olması anlamına gelir. Bu durum, fonksiyonun o noktada "pürüzsüz" bir davranış sergilemesini gerektirir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
Bir fonksiyonun $x=a$ noktasında türevlenebilir olması için, türev tanımındaki $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ ifadesinin var olması gerekir. Bu ifadede $f(a)$ terimi geçtiği için, fonksiyonun $a$ noktasında bir değere sahip olması, yani tanımlı olması zorunludur. Tanımlı olmayan bir noktada türevden bahsedemeyiz.
Matematikte çok önemli bir teorem der ki: "Eğer bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse, o noktada kesinlikle süreklidir." Türevlenebilirlik, süreklilikten daha güçlü bir koşuldur. Eğer bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse (örneğin, bir sıçrama ya da boşluk varsa), o noktada türevlenebilir olamaz. Bu nedenle, süreklilik zorunlu bir koşuldur.
Bir fonksiyonun $x=a$ noktasında türevinin var olması için, o noktadaki limitin var olması gerekir. Türev tanımındaki limitin var olması için de sağdan türev (sağ limit) ve soldan türev (sol limit) değerlerinin var olması ve birbirine eşit olması gerekir. Eğer sağdan ve soldan türevler farklıysa (örneğin, mutlak değer fonksiyonunun $x=0$ noktasındaki gibi bir "köşe" varsa), fonksiyon o noktada türevlenebilir değildir. Bu da zorunlu bir koşuldur.
Yukarıda B seçeneğinde belirttiğimiz gibi, türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için ise o noktadaki limitinin var olması ve bu limitin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir ($\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$). Dolayısıyla, türevlenebilirlik dolaylı olarak limitin varlığını da zorunlu kılar.
Bir fonksiyonun çift fonksiyon olması, $f(-x) = f(x)$ koşulunu sağlaması demektir (örneğin $f(x) = x^2$ veya $f(x) = \cos(x)$). Bir fonksiyonun belirli bir noktada türevlenebilir olması için, o fonksiyonun çift fonksiyon olması gibi bir zorunluluk yoktur. Örneğin, $f(x) = x^3$ fonksiyonu $x=0$ noktasında türevlenebilirdir ($f'(0)=0$), ancak çift fonksiyon değildir. Benzer şekilde, $f(x) = x+1$ fonksiyonu her noktada türevlenebilirdir ama çift fonksiyon değildir. Bu özellik, türevlenebilirlik için genel bir koşul değildir.
Bu açıklamalar ışığında, bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için zorunlu olmayan koşulun E seçeneği olduğu açıktır.
Cevap E seçeneğidir.
