Bu limit sorusunu çözmek için öncelikle $x \to 2$ yaklaşımında ifadenin hangi belirsizlik durumunda olduğunu kontrol etmeliyiz. Ardından, belirsizliği gidermek için uygun cebirsel yöntemleri kullanacağız.
- Adım 1: Belirsizlik Durumunu Kontrol Etme
- Verilen limit ifadesinde $x$ yerine $2$ koyarak pay ve paydanın değerlerini bulalım:
- Pay: $x^2 - 4 \implies 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
- Payda: $\sqrt{x+2} - 2 \implies \sqrt{2+2} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$.
- Görüldüğü gibi, $x \to 2$ için ifade $\frac{0}{0}$ belirsizliğini almaktadır. Bu belirsizliği gidermek için ifadeyi sadeleştirmemiz gerekmektedir.
- Adım 2: İfadeyi Sadeleştirme (Eşlenikle Çarpma)
- Paydada köklü bir ifade olduğu için, paydayı eşleniği ile çarparak kökten kurtulabiliriz. Paydanın eşleniği $\sqrt{x+2} + 2$'dir. Bu ifadeyi hem payı hem de paydayı çarpmak için kullanacağız:
- $ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x+2} - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x+2} - 2} \times \frac{\sqrt{x+2} + 2}{\sqrt{x+2} + 2} $
- Şimdi pay ve paydayı ayrı ayrı düzenleyelim:
- Pay: $(x^2 - 4)(\sqrt{x+2} + 2)$. Paydaki $x^2 - 4$ ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak $(x-2)(x+2)$ şeklinde yazabiliriz.
- Payda: $(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)$. Bu ifade $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ özdeşliğine göre $(\sqrt{x+2})^2 - 2^2 = (x+2) - 4 = x - 2$ olur.
- Bu durumda limit ifadesi şu hale gelir:
- $ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{x+2} + 2)}{x - 2} $
- Adım 3: Ortak Çarpanları Sadeleştirme
- $x \to 2$ olduğu için $x \neq 2$'dir. Bu nedenle $(x-2)$ terimini hem paydan hem de paydadan sadeleştirebiliriz:
- $ \lim_{x \to 2} (x+2)(\sqrt{x+2} + 2) $
- Adım 4: Limiti Hesaplama
- Şimdi sadeleşmiş ifadede $x$ yerine $2$ koyarak limitin değerini bulabiliriz:
- $ (2+2)(\sqrt{2+2} + 2) $
- $ = (4)(\sqrt{4} + 2) $
- $ = (4)(2 + 2) $
- $ = (4)(4) $
- $ = 16 $
Böylece limitin değeri $16$ olarak bulunur.
Cevap D seçeneğidir.
