Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ şeklinde tanımlanır.
Buna göre, $f(x) = x^3 - 2x$ fonksiyonunun $x=1$ noktasındaki türevi $f'(1)$ kaçtır?
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini, türevin limit tanımını kullanarak nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Bu tanım, türevin temelini anlamak için çok önemlidir.
- 1. Türev Tanımını Hatırlayalım:
Soruda bize verilen türev tanımı şudur: Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ şeklindedir. Bu tanım, fonksiyonun $x=a$ noktasındaki anlık değişim oranını (eğimi) bulmamızı sağlar.
- 2. Fonksiyonumuzu ve Noktamızı Belirleyelim:
Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 2x$ ve türevini bulmamız istenen nokta $x=1$. Yani, $a=1$ değerini kullanacağız.
- 3. $f(a)$ Değerini Hesaplayalım:
$a=1$ olduğu için $f(1)$ değerini bulmalıyız. Fonksiyonda $x$ yerine $1$ yazalım:
$f(1) = (1)^3 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
- 4. $f(a+h)$ Değerini Hesaplayalım:
$a=1$ olduğu için $f(1+h)$ değerini bulmalıyız. Fonksiyonda $x$ yerine $(1+h)$ yazalım:
$f(1+h) = (1+h)^3 - 2(1+h)$.
Şimdi bu ifadeyi açalım:
$(1+h)^3 = 1^3 + 3(1^2)h + 3(1)h^2 + h^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3$.
$-2(1+h) = -2 - 2h$.
Bu iki ifadeyi birleştirelim:
$f(1+h) = (1 + 3h + 3h^2 + h^3) - (2 + 2h)$
$f(1+h) = h^3 + 3h^2 + 3h + 1 - 2 - 2h$
$f(1+h) = h^3 + 3h^2 + h - 1$.
- 5. Türev Tanımına Yerleştirelim:
Şimdi bulduğumuz $f(1+h)$ ve $f(1)$ değerlerini türev tanımındaki limit ifadesine yerleştirelim:
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^3 + 3h^2 + h - 1) - (-1)}{h}$
Pay kısmındaki eksileri dağıtalım:
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 + 3h^2 + h - 1 + 1}{h}$
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 + 3h^2 + h}{h}$.
- 6. İfadeyi Sadeleştirelim:
Pay kısmındaki tüm terimlerde $h$ çarpanı bulunmaktadır. Bu $h$ çarpanını parantez dışına alabiliriz:
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h(h^2 + 3h + 1)}{h}$.
Şimdi pay ve paydadaki $h$ terimlerini sadeleştirebiliriz (çünkü $h \to 0$ demek $h$'ın sıfıra çok yaklaştığı ama sıfır olmadığı anlamına gelir):
$f'(1) = \lim_{h \to 0} (h^2 + 3h + 1)$.
- 7. Limiti Hesaplayalım:
Artık $h$ yerine $0$ yazarak limiti kolayca bulabiliriz:
$f'(1) = (0)^2 + 3(0) + 1$
$f'(1) = 0 + 0 + 1$
$f'(1) = 1$.
Böylece, $f(x) = x^3 - 2x$ fonksiyonunun $x=1$ noktasındaki türevi $f'(1)=1$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
