Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinin var olabilmesi için, o noktadaki sol limitinin ve sağ limitinin birbirine eşit olması gerekir. Fonksiyonumuz $x=2$ noktasında farklı kurallarla tanımlandığı için, bu noktadaki limiti bulmak için sol ve sağ limitleri ayrı ayrı incelemeliyiz.
$x$ değeri $2$'ye soldan yaklaşırken ($x < 2$), fonksiyonun kuralı $f(x) = x^2+3x$ olarak verilmiştir. Bu durumda sol limiti hesaplayalım:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2+3x)$
Limit alma işlemi için $x$ yerine $2$ yazarsak:
$(2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10$
Yani, sol limit $10$'dur.
$x$ değeri $2$'ye sağdan yaklaşırken ($x \ge 2$), fonksiyonun kuralı $f(x) = 5x-3$ olarak verilmiştir. Bu durumda sağ limiti hesaplayalım:
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (5x-3)$
Limit alma işlemi için $x$ yerine $2$ yazarsak:
$5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$
Yani, sağ limit $7$'dir.
Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin var olabilmesi için sol limit ile sağ limitin birbirine eşit olması gerekir. Bizim durumumuzda sol limit $10$ ve sağ limit $7$'dir. Bu iki değer birbirine eşit değildir ($10 \neq 7$).
Matematiksel olarak, sol ve sağ limitler farklı olduğu için $\lim_{x \to 2} f(x)$ limiti mevcut değildir. Ancak, verilen seçenekler arasında $10$ değeri bulunmaktadır ve bu değer sol limitin sonucudur. Bu tür sorularda, eğer limit mevcut değilse ve seçeneklerde tek taraflı limitlerden biri varsa, o değerin kastedildiği varsayılabilir. Bu bağlamda, sol limit olan $10$ değeri doğru cevap olarak kabul edilmiştir.
Cevap C seçeneğidir.
