12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 1. senaryo Test 3

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = \begin{cases} x^2+ax, & x < 1 \\ 3x-1, & x \ge 1 \end{cases}$ fonksiyonu her noktada sürekli olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

A) -1

C) 1

D) 2

E) 3

Bir fonksiyonun her noktada sürekli olması için, tanım kümesindeki her noktada sürekli olması gerekir. Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik incelenirken, öncelikle her bir parçanın kendi tanım aralığında sürekli olup olmadığına bakılır, ardından parçaların birleştiği kritik noktalarda süreklilik koşulları kontrol edilir.

• 1. Adım: Fonksiyonun parçalarının kendi aralıklarında sürekliliğini inceleyelim.

  Fonksiyonumuz iki parçadan oluşuyor:

  • $x < 1$ için $f(x) = x^2+ax$. Bu ifade bir polinomdur ve polinomlar tüm gerçel sayılar kümesinde süreklidir. Dolayısıyla, $x < 1$ aralığında $f(x)$ süreklidir.
  • $x \ge 1$ için $f(x) = 3x-1$. Bu ifade de bir polinomdur (doğrusal fonksiyon) ve tüm gerçel sayılar kümesinde süreklidir. Dolayısıyla, $x > 1$ aralığında $f(x)$ süreklidir.

  Bu durumda, fonksiyonun sürekliliğini bozan tek potansiyel nokta, parçaların birleştiği kritik nokta olan $x=1$ noktasıdır.

• 2. Adım: Kritik nokta olan $x=1$ noktasında süreklilik koşulunu uygulayalım.

  Bir fonksiyonun bir $x=c$ noktasında sürekli olması için şu üç koşulun sağlanması gerekir:

  • a) Fonksiyonun $x=c$ noktasındaki değeri ($f(c)$) tanımlı olmalıdır.
  • b) Fonksiyonun $x=c$ noktasındaki limiti ($\lim_{x \to c} f(x)$) var olmalıdır. (Bunun için sol limit ve sağ limit birbirine eşit olmalıdır.)
  • c) Fonksiyonun $x=c$ noktasındaki değeri, limit değerine eşit olmalıdır: $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

  Şimdi bu koşulları $x=1$ noktası için uygulayalım:

  • i) $f(1)$ değerini bulalım:

    $x \ge 1$ tanımına göre $f(x) = 3x-1$ kullanılır. Bu durumda $f(1) = 3(1)-1 = 3-1 = 2$ olur.

  • ii) $x=1$ noktasındaki sol limiti bulalım ($\lim_{x \to 1^-} f(x)$):

    $x < 1$ için $f(x) = x^2+ax$ ifadesini kullanırız. Limiti hesaplarken $x$ yerine $1$ yazarız:

    $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2+ax) = (1)^2+a(1) = 1+a$.

  • iii) $x=1$ noktasındaki sağ limiti bulalım ($\lim_{x \to 1^+} f(x)$):

    $x \ge 1$ için $f(x) = 3x-1$ ifadesini kullanırız. Limiti hesaplarken $x$ yerine $1$ yazarız:

    $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x-1) = 3(1)-1 = 3-1 = 2$.

  • iv) Süreklilik koşulunu uygulayalım:

    Fonksiyonun $x=1$ noktasında sürekli olması için sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır:

    $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$

    $1+a = 2 = 2$

    Bu eşitlikten $1+a = 2$ denklemini elde ederiz.

• 3. Adım: $a$ değerini bulalım.

  Elde ettiğimiz $1+a = 2$ denklemini çözerek $a$ değerini buluruz:

  $a = 2-1$

  $a = 1$

Buna göre, fonksiyonun her noktada sürekli olması için $a$ değerinin $1$ olması gerekir.

Cevap C seçeneğidir.