Kütlesi önemsiz bir çubuk $P$ noktasından duvara menteşelenmiştir. Çubuğa şekildeki gibi $F_1 = 10\text{ N}$ ve $F_2$ büyüklüğünde kuvvetler etki etmektedir. Çubuk yatay dengede olduğuna göre, $F_2$ kuvvetinin büyüklüğü kaç Newton'dur?
($\sin 30^\circ = 0.5$, $\cos 30^\circ = 0.87$ alınız.)
(Görsel: Yatay bir çubuk $P$ noktasından menteşelenmiştir. $P$'den $2\text{ m}$ uzaklıkta çubuğun altına dik olarak $F_1$ kuvveti uygulanmıştır. $P$'den $4\text{ m}$ uzaklıkta çubuğa $30^\circ$ açı yapacak şekilde yukarı yönlü $F_2$ kuvveti uygulanmıştır. Çubuk yataydır.)
A) $5\text{ N}$
B) $10\text{ N}$
C) $15\text{ N}$
D) $20\text{ N}$
E) $25\text{ N}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, yatay dengede olan bir çubuk üzerindeki kuvvetlerin oluşturduğu torkları dengeleyerek bilinmeyen $F_2$ kuvvetinin büyüklüğünü bulacağız. Bir cismin dengede olabilmesi için iki temel şart vardır: net kuvvetin sıfır olması ve net torkun sıfır olması. Çubuk bir menteşe etrafında dönebildiği için, tork dengesi şartını kullanmak işimizi kolaylaştıracaktır.
- Adım 1: Pivot Noktasını Belirleme
- Çubuk $P$ noktasından menteşelendiği için, tork hesaplamalarımızı bu $P$ noktasına göre yapacağız. Menteşe kuvveti $P$ noktasında etki ettiği için, $P$ noktasına göre torku sıfır olacaktır ve bu kuvveti hesaplamamıza gerek kalmayacaktır.
- Adım 2: Kuvvetlerin Oluşturduğu Tork Yönlerini Belirleme
- Tork, bir kuvvetin bir cismi bir eksen etrafında döndürme etkisidir. Torkun büyüklüğü $\tau = F \cdot d \cdot \sin\theta$ formülüyle bulunur, burada $F$ kuvvetin büyüklüğü, $d$ kuvvetin pivot noktasına olan uzaklığı ve $\theta$ kuvvet ile uzaklık vektörü arasındaki açıdır.
- $F_1$ kuvveti çubuğu saat yönünde döndürmeye çalışır. Bu torku negatif olarak kabul edelim.
- $F_2$ kuvveti çubuğu saat yönünün tersine döndürmeye çalışır. Bu torku pozitif olarak kabul edelim.
- Adım 3: $F_1$ Kuvvetinin Oluşturduğu Torku Hesaplama
- $F_1$ kuvvetinin büyüklüğü $10\text{ N}$'dur.
- $P$ noktasına olan uzaklığı $d_1 = 2\text{ m}$'dir.
- Kuvvet çubuğa dik (yani $90^\circ$ açı ile) uygulandığı için $\sin 90^\circ = 1$'dir.
- $F_1$'in oluşturduğu tork: $\tau_1 = F_1 \cdot d_1 = 10\text{ N} \cdot 2\text{ m} = 20\text{ Nm}$. (Saat yönünde)
- Adım 4: $F_2$ Kuvvetinin Oluşturduğu Torku Hesaplama
- $F_2$ kuvvetinin büyüklüğü bilinmiyor.
- $P$ noktasına olan uzaklığı $d_2 = 4\text{ m}$'dir.
- $F_2$ kuvveti çubukla $30^\circ$ açı yapmaktadır. Tork hesaplarken kuvvetin dönme eksenine dik bileşenini almalıyız. Bu bileşen $F_2 \sin 30^\circ$'dir.
- $\sin 30^\circ = 0.5$ olarak verilmiştir.
- $F_2$'nin oluşturduğu tork: $\tau_2 = (F_2 \sin 30^\circ) \cdot d_2 = F_2 \cdot (0.5) \cdot 4\text{ m} = 2F_2\text{ Nm}$. (Saat yönünün tersine)
- Adım 5: Tork Dengesi Şartını Uygulama
- Çubuk yatay dengede olduğuna göre, $P$ noktasına göre toplam tork sıfır olmalıdır: $\Sigma \tau_P = 0$.
- Saat yönünün tersi torkları pozitif, saat yönü torkları negatif alırsak:
- $\tau_2 - \tau_1 = 0$
- $2F_2 - 20\text{ Nm} = 0$
- Adım 6: $F_2$ Kuvvetinin Büyüklüğünü Bulma
- Denklemi çözerek $F_2$'yi bulalım:
- $2F_2 = 20\text{ Nm}$
- $F_2 = \frac{20\text{ Nm}}{2} = 10\text{ N}$
Buna göre, $F_2$ kuvvetinin büyüklüğü $10\text{ N}$'dur.
Cevap B seçeneğidir.
