Bu problemde, ideal bir gazın basıncı, hacmi ve sıcaklığı arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Bu tür problemler için en temel aracımız, İdeal Gaz Yasası'dır. İdeal Gaz Yasası, belirli bir miktar gaz için basınç ($P$), hacim ($V$) ve mutlak sıcaklık ($T$) arasındaki ilişkiyi açıklar.
1. İdeal Gaz Yasası'nı Hatırlayalım:
Sabit miktardaki bir ideal gaz için, başlangıç ve son durumlar arasındaki ilişkiyi veren birleşik gaz yasası şöyledir:
$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
Burada $P_1$: Başlangıç basıncı, $V_1$: Başlangıç hacmi, $T_1$: Başlangıç mutlak sıcaklığı, $P_2$: Son basınç, $V_2$: Son hacim, $T_2$: Son mutlak sıcaklıktır. Unutmayın, sıcaklık her zaman mutlak sıcaklık (Kelvin cinsinden) olmalıdır.
2. Verilen Başlangıç Koşullarını Belirleyelim:
Soruda başlangıç koşulları şu şekilde verilmiş:
Başlangıç basıncı: $P_1$
Başlangıç hacmi: $V_1$
Başlangıç mutlak sıcaklığı: $T_1$
3. Verilen Son Koşulları Belirleyelim:
Soruda gazın sıcaklığı iki katına çıkarılırken, basıncı yarıya düşürüldüğü belirtiliyor. Buna göre son koşullar:
Son sıcaklık ($T_2$): Başlangıç sıcaklığının iki katı, yani $T_2 = 2T_1$.
Son basınç ($P_2$): Başlangıç basıncının yarısı, yani $P_2 = \frac{P_1}{2}$.
Son hacim ($V_2$): Bulmamız gereken değer.
4. Değerleri Birleşik Gaz Yasası Formülünde Yerine Koyalım:
Şimdi bulduğumuz bu değerleri $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ formülünde yerine yazalım:
$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{(\frac{P_1}{2}) V_2}{(2T_1)}$
5. $V_2$ Değerini Çözelim:
Denklemi $V_2$ için çözmek için adımları takip edelim:
Öncelikle sağ taraftaki ifadeyi düzenleyelim:
$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_1 V_2}{4T_1}$
Şimdi denklemin her iki tarafını da $4T_1$ ile çarpalım:
$4T_1 \cdot \frac{P_1 V_1}{T_1} = 4T_1 \cdot \frac{P_1 V_2}{4T_1}$
Denklemin her iki tarafındaki $T_1$ ve $4T_1$ terimleri sadeleşecektir:
$4 P_1 V_1 = P_1 V_2$
Şimdi her iki tarafı da $P_1$ ile bölelim (çünkü $P_1 \neq 0$):
$\frac{4 P_1 V_1}{P_1} = \frac{P_1 V_2}{P_1}$
$4 V_1 = V_2$
Yani, son hacim başlangıç hacminin 4 katı olur.
Bu durumda, son hacim ($V_2$) başlangıç hacminin ($V_1$) 4 katıdır.
Cevap E seçeneğidir.
