ABC ve DEF benzer üçgenlerdir. |AB| = 15 cm, |BC| = 20 cm, |AC| = 25 cm ve |DE| = 9 cm olduğuna göre, |EF| kaç cm'dir?
A) 10Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, benzer üçgenlerin özelliklerini kullanarak bir kenar uzunluğunu bulacağız. Benzer üçgenler, şekilleri aynı, ancak boyutları farklı olan üçgenlerdir. En önemli özellikleri, karşılıklı kenarlarının oranının sabit olmasıdır. Bu sabit orana "benzerlik oranı" denir.
Bize $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinin benzer olduğu söyleniyor. Bu, üçgenlerin köşelerinin sırasıyla eşleştiği anlamına gelir: A köşesi D ile, B köşesi E ile, C köşesi F ile eşleşir. Dolayısıyla, karşılıklı kenarlar da şunlardır:
Verilen uzunluklar ise şunlardır:
Bizden $|EF|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu oranı, hem $ABC$ üçgeninin hem de $DEF$ üçgeninin bilinen karşılıklı kenarlarını kullanarak bulabiliriz. Bizim elimizde $|AB|$ ve ona karşılık gelen $|DE|$ kenarlarının uzunlukları var. O halde benzerlik oranı ($k$) şu şekilde bulunur:
$k = rac{|AB|}{|DE|}$
Verilen değerleri yerine yazarsak:
$k = rac{15}{9}$
Bu kesri sadeleştirelim (her iki sayıyı da 3'e bölelim):
$k = rac{5}{3}$
Demek ki, $ABC$ üçgeninin bir kenarı, $DEF$ üçgeninin karşılık gelen kenarının $ rac{5}{3}$ katıdır.
Şimdi, benzerlik oranını kullanarak $|EF|$ uzunluğunu bulabiliriz. $|BC|$ kenarı, $|EF|$ kenarına karşılık geldiği için, bu kenarların oranı da benzerlik oranına eşit olmalıdır:
$ rac{|BC|}{|EF|} = k$
Bilinen değerleri ve bulduğumuz benzerlik oranını yerine yazalım:
$ rac{20}{|EF|} = rac{5}{3}$
Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapalım:
$5 \times |EF| = 20 \times 3$
$5 \times |EF| = 60$
Şimdi $|EF|$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 5'e bölelim:
$|EF| = rac{60}{5}$
$|EF| = 12$ cm
Böylece, benzerlik oranını kullanarak $|EF|$ kenarının uzunluğunu $12$ cm olarak bulduk. Bu tür sorularda, benzerlik oranını doğru bir şekilde belirlemek ve karşılıklı kenarları doğru eşleştirmek çok önemlidir.
Cevap B seçeneğidir.