6. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 2

Aşağıdaki sayı örüntüsü belirli bir kurala göre devam etmektedir:
$5, 9, 13, 17, \dots$
Bu sayı örüntüsünün genel kuralı (n. terimi) aşağıdakilerden hangisidir?

A) $n + 4$

B) $4n + 1$

C) $5n$

D) $n + 5$

Sayı Örüntüsünün Genel Kuralını Bulma

Bir sayı örüntüsünün genel kuralını (n. terimini) bulmak, örüntüdeki herhangi bir terimi, o terimin sırasını ($n$) kullanarak hesaplamamızı sağlayan bir formül bulmak demektir. Hadi bu örüntünün kuralını adım adım bulalım:

• 1. Örüntüyü İnceleyelim ve Terimleri Belirleyelim:

  Verilen sayı örüntüsü şöyledir: $5, 9, 13, 17, \dots$

  Burada terimler ve sıraları şöyledir:

• Birinci terim ($n=1$): $a_1 = 5$
• İkinci terim ($n=2$): $a_2 = 9$
• Üçüncü terim ($n=3$): $a_3 = 13$
• Dördüncü terim ($n=4$): $a_4 = 17$
• 2. Ardışık Terimler Arasındaki Farkı Bulalım:

  Örüntünün nasıl ilerlediğini anlamak için ardışık terimler arasındaki farka bakalım:

• İkinci terimden birinci terimi çıkaralım: $9 - 5 = 4$
• Üçüncü terimden ikinci terimi çıkaralım: $13 - 9 = 4$
• Dördüncü terimden üçüncü terimi çıkaralım: $17 - 13 = 4$

Gördüğümüz gibi, ardışık terimler arasındaki fark her zaman $4$. Bu farka ortak fark denir ve bu tür örüntülere aritmetik dizi denir.

• 3. Genel Kural Formülünü Uygulayalım:

  Bir aritmetik dizinin genel kuralı (n. terimi) için standart bir formül vardır: $a_n = a_1 + (n-1)d$

  Burada:

• $a_n$: Dizinin $n$. terimi (bulmak istediğimiz kural)
• $a_1$: Dizinin ilk terimi ($5$)
• $n$: Terimin sırası
• $d$: Ortak fark ($4$)
• 4. Değerleri Formülde Yerine Koyalım ve Sadeleştirelim:

  Formüldeki $a_1$ ve $d$ değerlerini yerine yazalım:

  $a_n = 5 + (n-1)4$

  Şimdi ifadeyi sadeleştirelim:

  $a_n = 5 + 4n - 4$ (Parantezi dağıttık: $4 \times n = 4n$ ve $4 \times -1 = -4$)

  $a_n = 4n + 5 - 4$ (Terimleri yeniden düzenledik)

  $a_n = 4n + 1$

• 5. Kuralı Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz kuralın doğru olup olmadığını kontrol edelim. $n$ yerine terim sıralarını koyarak örüntüdeki terimleri elde edebiliyor muyuz?

• $n=1$ için (birinci terim): $4(1) + 1 = 4 + 1 = 5$ (Doğru!)
• $n=2$ için (ikinci terim): $4(2) + 1 = 8 + 1 = 9$ (Doğru!)
• $n=3$ için (üçüncü terim): $4(3) + 1 = 12 + 1 = 13$ (Doğru!)

Kuralımız doğru çalışıyor!

Bu durumda, sayı örüntüsünün genel kuralı $4n + 1$'dir.

Cevap B seçeneğidir.