8. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 1

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\hat{A}) = 50^\circ$ ve $m(\hat{B}) = 70^\circ$ olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? ($a, b, c$ kenarları sırasıyla $A, B, C$ açılarının karşısındaki kenarlardır.)

A) $a < b < c$

B) $c < a < b$

C) $b < a < c$

D) $a < c < b$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir üçgenin iki açısı verilmiş ve kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı bulmamız isteniyor. Üçgenlerde kenar uzunlukları ile açıların büyüklükleri arasında çok önemli bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi kullanarak soruyu adım adım çözelim.

• Adım 1: Üçgenin Üçüncü Açısını Bulma

Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman $180^\circ$ derecedir. Bize $m(\hat{A}) = 50^\circ$ ve $m(\hat{B}) = 70^\circ$ olarak verilmiş. Üçüncü açı olan $m(\hat{C})$'yi bulmak için bu bilgiyi kullanalım:

$m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ$

$50^\circ + 70^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ$

$120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ$

$m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ$

$m(\hat{C}) = 60^\circ$

• Adım 2: Açıları Büyükten Küçüğe (veya Küçükten Büyüğe) Sıralama

Şimdi üçgenin tüm açılarını biliyoruz:

• $m(\hat{A}) = 50^\circ$
• $m(\hat{B}) = 70^\circ$
• $m(\hat{C}) = 60^\circ$

Bu açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım:

$50^\circ < 60^\circ < 70^\circ$

Yani, $m(\hat{A}) < m(\hat{C}) < m(\hat{B})$

• Adım 3: Açı-Kenar İlişkisini Kullanarak Kenarları Sıralama

Üçgenlerde önemli bir kural vardır: "Büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur." Bu kuralı kullanarak kenar uzunluklarını sıralayabiliriz.

• $A$ açısının karşısındaki kenar $a$'dır.
• $B$ açısının karşısındaki kenar $b$'dir.
• $C$ açısının karşısındaki kenar $c$'dir.

Açı sıralamamız $m(\hat{A}) < m(\hat{C}) < m(\hat{B})$ olduğuna göre, kenar sıralamamız da aynı şekilde olacaktır:

$a < c < b$

• Adım 4: Doğru Seçeneği Belirleme

Bulduğumuz sıralama $a < c < b$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda, bu sıralamanın D seçeneğinde verildiğini görüyoruz.

Cevap D seçeneğidir.