8. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1

Kenar uzunlukları $4 \text{ cm}, 6 \text{ cm}, 8 \text{ cm}$ olan bir üçgen ile kenar uzunlukları $10 \text{ cm}, 15 \text{ cm}, 20 \text{ cm}$ olan bir üçgen benzerdir. Buna göre, ikinci üçgenin birinci üçgene göre benzerlik oranı kaçtır?

A) $\frac{1}{2}$

B) $2$

C) $\frac{5}{2}$

D) $3$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle üçgenlerde benzerlik konusunu ele alacağız. Benzerlik, geometride çok önemli bir kavramdır ve günlük hayatta da birçok yerde karşımıza çıkar. Örneğin, bir harita gerçek bir bölgenin benzer bir modelidir. Şimdi sorumuza odaklanalım ve adım adım çözelim.

• 1. Adım: Benzer Üçgenleri Anlamak

  İki üçgenin benzer olması demek, bu üçgenlerin açılarının aynı olması ve kenar uzunluklarının belirli bir oranda birbirine eşit olması demektir. Bu orana benzerlik oranı denir.

  Soruda bize iki üçgenin benzer olduğu zaten söylenmiş. Bu, işimizi kolaylaştırıyor çünkü kenar uzunlukları arasında bir orantı olduğunu biliyoruz.

• 2. Adım: Kenar Uzunluklarını Karşılaştırmak

  Birinci üçgenin kenar uzunlukları $4 \text{ cm}, 6 \text{ cm}, 8 \text{ cm}$'dir. İkinci üçgenin kenar uzunlukları ise $10 \text{ cm}, 15 \text{ cm}, 20 \text{ cm}$'dir.

  Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarlar orantılıdır. Genellikle en kısa kenar en kısa kenara, orta kenar orta kenara ve en uzun kenar en uzun kenara karşılık gelir. Bu yüzden kenarları küçükten büyüğe doğru sıralayarak eşleştirelim:

  • Birinci üçgen: $4 \text{ cm}$ (en kısa), $6 \text{ cm}$ (orta), $8 \text{ cm}$ (en uzun)
  • İkinci üçgen: $10 \text{ cm}$ (en kısa), $15 \text{ cm}$ (orta), $20 \text{ cm}$ (en uzun)

  Buna göre, karşılıklı kenarlar şunlardır:

  • $4 \text{ cm}$ ile $10 \text{ cm}$
  • $6 \text{ cm}$ ile $15 \text{ cm}$
  • $8 \text{ cm}$ ile $20 \text{ cm}$
• 3. Adım: Benzerlik Oranını Hesaplamak

  Soruda bizden "ikinci üçgenin birinci üçgene göre benzerlik oranı" isteniyor. Bu ifade, ikinci üçgenin bir kenar uzunluğunu, birinci üçgenin karşılık gelen kenar uzunluğuna bölmemiz gerektiği anlamına gelir.

  Şimdi her bir karşılıklı kenar çifti için oranı hesaplayalım:

  • En kısa kenarların oranı: $\frac{10 \text{ cm}}{4 \text{ cm}}$
  • Orta kenarların oranı: $\frac{15 \text{ cm}}{6 \text{ cm}}$
  • En uzun kenarların oranı: $\frac{20 \text{ cm}}{8 \text{ cm}}$
• 4. Adım: Oranları Sadeleştirmek

  Şimdi bu oranları sadeleştirelim ve hepsinin aynı değeri verdiğini görelim:

  • $\frac{10}{4}$: Hem payı hem de paydayı $2$ ile bölebiliriz. $\frac{10 \div 2}{4 \div 2} = \frac{5}{2}$
  • $\frac{15}{6}$: Hem payı hem de paydayı $3$ ile bölebiliriz. $\frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2}$
  • $\frac{20}{8}$: Hem payı hem de paydayı $4$ ile bölebiliriz. $\frac{20 \div 4}{8 \div 4} = \frac{5}{2}$

  Gördüğünüz gibi, tüm oranlar aynı değeri, yani $\frac{5}{2}$'yi vermektedir. Bu da bizim benzerlik oranımızdır.

• 5. Adım: Cevabı Belirlemek

  Hesapladığımız benzerlik oranı $\frac{5}{2}$'dir. Seçeneklere baktığımızda bu değerin C seçeneğinde olduğunu görüyoruz.

Cevap C seçeneğidir.